Question

12．如圖所示，半徑為R的光滑圓弧軌道放置在豎直平面內(nèi)，A、C是軌道的兩個(gè)端點(diǎn)，A點(diǎn)與圓心O等高，C點(diǎn)和圓心O點(diǎn)的連線與豎直方向的夾角θ=60°，B點(diǎn)處在圓弧軌道的最低點(diǎn)．現(xiàn)有兩個(gè)半徑均為r（r＜R）的小球1和小球2，其中小球2靜止在B點(diǎn)．把小球1從A點(diǎn)由靜止釋放，到達(dá)最低點(diǎn)B處與小球2發(fā)生彈性碰撞，為使得小球2能離開(kāi)圓弧軌道，小球2與小球1的質(zhì)量之比$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 小球1從A到B的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，據(jù)此求出到達(dá)B處獲得的速度，在B處小球1和小球2發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒定律以及機(jī)械能守恒定律求出碰撞后B的速度，小球2從B到C得過(guò)程中，機(jī)械能守恒，要保證在C點(diǎn)的速度大于0，據(jù)此求解即可．

解答 解：小球1從A到B的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，到達(dá)B處獲得的速度為v₁，則有：
${m}_{1}gR=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}$
在B處小球1和小球2發(fā)生彈性碰撞，設(shè)碰撞后的速度分別為v₁′和v₂′，以v₁速度方向?yàn)檎�方向，根�?jù)動(dòng)量守恒定律得：
m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂′，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
${\frac{1}{2}m}_{1}{{v}_{1}}^{2}={\frac{1}{2}m}_{1}{v}_{1}{′}^{2}+{\frac{1}{2}m}_{2}{v}_{2}{′}^{2}$
小球2從B到C得過(guò)程中，機(jī)械能守恒，要保證在C點(diǎn)的速度大于0，則有：
$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}{′}^{2}＞{m}_{2}gR（1-cosθ）$
聯(lián)立解得：$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}＜2\sqrt{2}-1$
答：為使得小球2能離開(kāi)圓弧軌道，小球2與小球1的質(zhì)量之比$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$應(yīng)滿足$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}＜2\sqrt{2}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了機(jī)械能守恒定律以及動(dòng)量守恒定律的直接應(yīng)用，知道彈性碰撞過(guò)程中，機(jī)械能守恒，難度適中．