Question

16．如圖，質量為M的小車靜止在光滑的水平面上，小車AB段是半徑為R的四分之一圓弧光滑軌道，BC段是長為L的水平粗糙軌道，兩段軌道相切于B點，重力加速度為g．若不固定小車，一質量為m的滑塊在小車上從A點靜止開始沿軌道滑下，然后滑入BC軌道，最后從C點滑出小車，已知滑塊質量m=$\frac{M}{2}$，在任一時刻滑塊相對地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，滑塊與軌道BC間的動摩擦因數(shù)為μ，求：
①滑塊運動過程中，小車的最大速度v_m；
②滑塊從A點下滑到滑出小車的過程中，小車的位移大小s．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，在任一時刻滑塊相對地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，然后結合機械能守恒即可求出小車的最大速度大小v_m；
（2）在任一時刻滑塊相對地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，寫出速度的關系式，然后結合運動學的公式即可求出小車的位移．

解答 解：（1）滑塊與小車運動的過程中水平方向的動量守恒，以滑塊運動的方向為正方向，則：
mv₁+Mv₂=0
所以：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=-\frac{M}{m}=-\frac{2}{1}$
負號表示二者的速度方向相反，在任一時刻滑塊相對地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，設小車的最大速度是v_m，由機械能守恒可知，當小球在最低點時，小球與環(huán)的速度最大，得：
$mgR=\frac{1}{2}M{v}_{m}^{2}+\frac{1}{2}m（2{v}_{m}）^{2}$
解得：${v}_{m}=\sqrt{\frac{gR}{3}}$
（2）由于在任一時刻滑塊相對地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，所以滑塊從A到C運動過程中，滑塊的平均速度是小車的平均速度的2倍，即：
$\overline{{v}_{滑塊}}=2\overline{{v}_{車}}$
由于它們運動的時間相等，根據(jù)：$x=\overline{v}t$可得：s_滑塊=2s_車
又：s_滑塊+s_車=R+L
所以：小車的位移大小：s=$\frac{1}{3}$（R+L）
答：（1）滑塊運動過程中，小車的最大速度大小是$\sqrt{\frac{gR}{3}}$；
（2）滑塊從B到C運動過程中，小車的位移大小是$\frac{L+R}{3}$．

點評 該題主要考查系統(tǒng)水平方向動量守恒和能量守恒的問題，求解兩物體間的相對位移，往往根據(jù)平均速度研究．也可以根據(jù)題目提供的特殊的條件：在任一時刻滑塊相對地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，不使用動量守恒定律．