Question

16．如圖，質(zhì)量為M的小車靜止在光滑的水平面上，小車AB段是半徑為R的四分之一圓弧光滑軌道，BC段是長(zhǎng)為L(zhǎng)的水平粗糙軌道，兩段軌道相切于B點(diǎn)，重力加速度為g．若不固定小車，一質(zhì)量為m的滑塊在小車上從A點(diǎn)靜止開(kāi)始沿軌道滑下，然后滑入BC軌道，最后從C點(diǎn)滑出小車，已知滑塊質(zhì)量m=$\frac{M}{2}$，在任一時(shí)刻滑塊相對(duì)地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，滑塊與軌道BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，求：
①滑塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小車的最大速度v_m；
②滑塊從A點(diǎn)下滑到滑出小車的過(guò)程中，小車的位移大小s．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，在任一時(shí)刻滑塊相對(duì)地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，然后結(jié)合機(jī)械能守恒即可求出小車的最大速度大小v_m；
（2）在任一時(shí)刻滑塊相對(duì)地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，寫出速度的關(guān)系式，然后結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求出小車的位移．

解答 解：（1）滑塊與小車運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中水平方向的動(dòng)量守恒，以滑塊運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎�方向，則：
mv₁+Mv₂=0
所以：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=-\frac{M}{m}=-\frac{2}{1}$
負(fù)號(hào)表示二者的速度方向相反，在任一時(shí)刻滑塊相對(duì)地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，設(shè)小車的最大速度是v_m，由機(jī)械能守恒可知，當(dāng)小球在最低點(diǎn)時(shí)，小球與環(huán)的速度最大，得：
$mgR=\frac{1}{2}M{v}_{m}^{2}+\frac{1}{2}m（2{v}_{m}）^{2}$
解得：${v}_{m}=\sqrt{\frac{gR}{3}}$
（2）由于在任一時(shí)刻滑塊相對(duì)地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，所以滑塊從A到C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，滑塊的平均速度是小車的平均速度的2倍，即：
$\overline{{v}_{滑塊}}=2\overline{{v}_{車}}$
由于它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，根據(jù)：$x=\overline{v}t$可得：s_滑塊=2s_車
又：s_滑塊+s_車=R+L
所以：小車的位移大小：s=$\frac{1}{3}$（R+L）
答：（1）滑塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小車的最大速度大小是$\sqrt{\frac{gR}{3}}$；
（2）滑塊從B到C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小車的位移大小是$\frac{L+R}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒和能量守恒的問(wèn)題，求解兩物體間的相對(duì)位移，往往根據(jù)平均速度研究．也可以根據(jù)題目提供的特殊的條件：在任一時(shí)刻滑塊相對(duì)地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，不使用動(dòng)量守恒定律．