Question

3．如圖所示，寬度為L的粗糙平行金屬導(dǎo)軌PQ和P′Q′傾斜放置，頂端QQ′之間連接一個阻值為R的電阻和開關(guān)S，底端PP′處與一小段水平軌道用光滑圓弧相連．已知底端PP′離地面的高度為h，傾斜導(dǎo)軌處在垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出）中．若斷開開關(guān)S，將一根質(zhì)量為m、電阻為r、長為L的金屬棒從AA′處靜止開始滑下，金屬棒落地點(diǎn)離PP′的水平距離為x₁；若閉合開關(guān)S，將金屬棒仍從AA′處靜止開始滑下，則金屬棒落地點(diǎn)離PP′的水平距離為x₂．不計(jì)導(dǎo)軌電阻，忽略金屬棒經(jīng)過PP′處的能量損失，重力加速度為g，求：
（1）開關(guān)斷開時，金屬棒離開底端PP′的速度大�。�
（2）比較前后兩次金屬棒與導(dǎo)軌摩擦產(chǎn)生的熱量大�。�
（3）開關(guān)閉合時，金屬棒在下滑過程中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）金屬棒離開底端PP′后，做平拋運(yùn)動，已知水平距離和高度，根據(jù)平拋運(yùn)動的知識，可以求出棒開底端PP′的速度大��；
（2）金屬棒與導(dǎo)軌摩擦產(chǎn)生的熱量等于克服摩擦力做功．由功能關(guān)系解答．
（3）開關(guān)閉合后，金屬棒下滑時，需要克服安培力做功產(chǎn)生焦耳熱，根據(jù)能量守恒定律求解．

解答 解：（1）開關(guān)斷開時，金屬棒離開底端PP′的速度大小為v₁，在空中運(yùn)動的時間為t，則：
 x₁=v₁t
 h=$\frac{1}{2}$gt²；
可得：v₁=x₁$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
（2）金屬棒與導(dǎo)軌摩擦產(chǎn)生的熱量等于克服摩擦力做功，前后兩次金屬棒所受的滑動摩擦力不變，通過的位移不變，克服摩擦力做功相等，所以前后兩次金屬棒與導(dǎo)軌摩擦產(chǎn)生的熱量相等．
（3）開關(guān)斷開時，在金屬棒沿傾斜導(dǎo)軌下滑的過程中，重力做功為W_G，摩擦力做功為W_f．
根據(jù)動能定理：W_G+W_F=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
開關(guān)閉合時，金屬棒離開底端PP′的速度：v₂=x₂$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
在金屬棒沿傾斜導(dǎo)軌下滑的過程中，重力做功和摩擦力做功與開關(guān)斷開時相同，安培力做功為W_安，系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱為Q，
由動能定理可得：W_G+W_f+W_安=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
又因?yàn)镼=|W_安|
金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱 Q_r=$\frac{r}{R+r}$Q
聯(lián)立上述方程可得：Q_r=$\frac{r}{R+r}$•$\frac{mg}{4h}$（${x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}$ ）．
答：（1）開關(guān)斷開時，金屬棒離開底端PP′的速度大小是x₁$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（2）前后兩次金屬棒與導(dǎo)軌摩擦產(chǎn)生的熱量大小相等；
（3）開關(guān)閉合時，金屬棒在下滑過程中產(chǎn)生的焦耳熱是$\frac{r}{R+r}$•$\frac{mg}{4h}$（${x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}$ ）．

點(diǎn)評 本題首先要掌握平拋運(yùn)動的研究方法，其次能運(yùn)用能量守恒定律求解熱量，都是常用的思路，平時要多加強(qiáng)這方面的練習(xí)，熟練掌握．