Question

9．如圖所示，一光滑的曲面與一水平傳送帶左端平滑連接，傳送帶以速率v₀=2m/s逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量m=2kg的滑塊從曲面上高h(yuǎn)₁=1.65m位置由靜止開(kāi)始下滑，滑塊滑到傳送帶右端后飛出，下落高度h₂=0.8m著地，已知滑塊落地點(diǎn)相對(duì)于傳送帶右端的水平位移L=1.2m，（g=10m/s²）．
（1）求滑塊落地時(shí)的速度大小；
（2）若滑塊從曲面上離傳送帶高度h₃=0.8m處開(kāi)始下滑，滑塊滑上傳送帶后立即取走曲面，求滑塊落地時(shí)的速度大��；
（3）在（2）情形下，求滑塊自釋放至落地全過(guò)程中滑塊與傳送帶摩擦所產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）滑塊從傳送帶飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公式列式求出離開(kāi)傳送帶的速度，再對(duì)飛出后的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解落地時(shí)速度；
（2）先根據(jù)功能關(guān)系求出滑塊由h₁=1.65m處由靜止開(kāi)始下滑到傳送帶，在滑到傳送帶右端過(guò)程中，摩擦力對(duì)滑塊做的功，在比較mgh₃與W_f關(guān)系，從而判斷滑塊在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)情況，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解；
（3）先求出滑塊由h₃=0.8m處?kù)o止開(kāi)始下滑到傳送帶，在傳送帶上滑到速度為零的過(guò)程中滑塊與傳送帶摩擦所產(chǎn)生的熱量，再求出滑塊后來(lái)又向傳送帶左端運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，滑塊加速至v₀過(guò)程中滑塊與傳送帶摩擦所產(chǎn)生的熱量，兩者之和即為總熱量．

解答 解：（1）設(shè)滑塊滑至傳送帶的右端速度為v₁，滑塊自傳送帶右端飛出至落地時(shí)間為t，則
L=v₁t①，
${h}_{2}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$②
設(shè)滑塊落地時(shí)的速度為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+mg{h}_{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$③
由①②③解得：v₁=3m/s，v=5m/s
（2）設(shè)滑塊由h₁=1.65m處由靜止開(kāi)始下滑到傳送帶，在滑到傳送帶右端過(guò)程中，摩擦力對(duì)滑塊做功大小為W_f，
由功能關(guān)系得：$mg{h}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+{W}_{f}$，
解得：W_f=24J
由于mgh₃＜W_f，則滑塊由h₃=0.8m處開(kāi)始下滑到傳送帶，在滑到傳送帶右端前滑塊的速度就應(yīng)減為零，然后滑塊要向左運(yùn)動(dòng)，
設(shè)滑塊由h₃=0.8m處?kù)o止開(kāi)始下滑到傳送帶，在到達(dá)傳送帶左端的速度為v₀′，則
$mg{h}_{3}=\frac{1}{2}m{v}_{0}{′}^{2}$
解得：v₀′=4m/s
因?yàn)関₀＜v₀′，故滑塊向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中：先加速至于傳送帶速度相同，后勻速運(yùn)動(dòng)至傳送帶左端作平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)滑塊從傳送帶左端拋出落地時(shí)的速度大小為v₂，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+mg{h}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
解得：v₂=4m/s，
（3）設(shè)滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，滑塊由h₃=0.8m處?kù)o止開(kāi)始下滑到傳送帶，在傳送帶上滑到速度為零的過(guò)程中，滑塊運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，滑塊與傳送帶摩擦所產(chǎn)生的熱量為Q₁，則有：
${Q}_{1}=μmg（\frac{{v}_{0}′}{2}{t}_{1}+{v}_{0}{t}_{1}）$，④
又對(duì)滑塊，由動(dòng)能定理得：$-μmg\frac{{v}_{0}′}{2}{t}_{1}=0-\frac{1}{2}m{v}_{0}{′}^{2}$，⑤
設(shè)滑塊后來(lái)又向傳送帶左端運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，滑塊加速至v₀的時(shí)間為t₂，滑塊與傳送帶摩擦所產(chǎn)生的熱量為Q₂，則${Q}_{2}=μmg（{v}_{0}{t}_{2}-\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{2}）$，⑥
對(duì)滑塊由動(dòng)能定理得：$μmg\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-0$⑦
則滑塊自釋放至落地全過(guò)程中滑塊與傳送帶摩擦所產(chǎn)生的熱量Q=Q₁+Q₂⑧
解④⑤⑥⑦⑧得Q=36J
答：（1）滑塊落地時(shí)的速度大小為5m/s；
（2）若滑塊從曲面上離傳送帶高度h₃=0.8m處開(kāi)始下滑，滑塊滑上傳送帶后立即取走曲面，滑塊落地時(shí)的速度大小為4m/s；
（3）在（2）情形下，滑塊自釋放至落地全過(guò)程中滑塊與傳送帶摩擦所產(chǎn)生的熱量為36J．

點(diǎn)評(píng) 本題是平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律、機(jī)械能守恒定律和動(dòng)能定理應(yīng)用相結(jié)合的題型，其中還涉及到物體與傳送帶的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，要求同學(xué)們能正確分析物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，過(guò)程較為復(fù)雜，難度較大，屬于難題．