Question

6．如圖所示，光滑水平面AB與豎直面的半圓形導(dǎo)軌在B點(diǎn)相連接，導(dǎo)軌半徑為R，一個(gè)質(zhì)量為m的靜止的木塊在A處壓縮彈簧，釋放后，木塊獲得向右的初速度，當(dāng)它經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入半圓形導(dǎo)軌瞬間對導(dǎo)軌的壓力是其重力的7倍，之后向上運(yùn)動恰能通過軌道頂點(diǎn)C，試求：
（1）彈簧對木塊所做的功；
（2）木塊從B到C過程中克服摩擦力所做的功；
（3）木塊離開C點(diǎn)落回水平地面時(shí)的速度大小和方向．

Answer 1

分析 （1）由B點(diǎn)對導(dǎo)軌的壓力可求得物體在B點(diǎn)的速度，則由動能定理可求得彈簧對物塊的彈力所做的功；
（2）由臨界條件利用向心力公式可求得最高點(diǎn)的速度，由動能定理可求得摩擦力所做的功；
（3）木塊離開C后做平拋運(yùn)動，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律可以求出落地時(shí)的速度大小，再確定速度的方向．

解答 解：（1）木塊在B點(diǎn)時(shí)做圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律可知：
  F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，又 F=7mg
解得：v_B=$\sqrt{6gR}$
從A到C由動能定理可得：
彈力對木塊所做的功 W=$\frac{1}{2}$mv_B²=3mgR；
（2）木塊恰好通過C點(diǎn)，重力提供向心力，
由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
對BC過程由動能定理可得：
-2mgR-W_f=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²，解得：W_f=$\frac{1}{2}$mgR．
（3）物體從C點(diǎn)到落地過程，只有重力做功，機(jī)械能守恒，
由機(jī)械能守恒定律可得：2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv_C²，
物塊落地時(shí)的速度大小為 v=$\sqrt{5gR}$．
落地時(shí)速度與水平的夾角滿足 cosθ=$\frac{{v}_{C}}{v}$=$\frac{\sqrt{gR}}{\sqrt{5gR}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，θ=arccos$\frac{\sqrt{5}}{5}$
答：
（1）彈簧對木塊所做的功是3mgR；
（2）木塊從B到C過程中克服摩擦力所做的功是$\frac{1}{2}$mgR；
（3）木塊離開C點(diǎn)落回水平地面時(shí)的速度大小是$\sqrt{5gR}$．方向與水平方向的夾角為arccos$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 解答本題首先應(yīng)明確物體運(yùn)動的三個(gè)過程，第一過程彈力做功增加了物體的動能；第二過程做豎直面上的圓周運(yùn)動，要注意臨界條件的應(yīng)用；第三過程做平拋運(yùn)動，機(jī)械能守恒．