Question

15．在豎直平面內(nèi)有一個半圓形軌道ABC，半徑為R，如圖所示，A、C兩點的連線水平，B點為軌道最低點．其中AB部分是光滑的，BC部分是粗糙的．有一個質(zhì)量為m的乙物體靜止在B處，另一個質(zhì)量為2m的甲物體從A點無初速度釋放，甲物體運動到軌道最低點與乙物體發(fā)生碰撞，碰撞時間極短，碰撞后結合成一個整體，甲乙構成的整體滑上BC軌道，最高運動到D點，OD與OB連線的夾角θ=60°．甲、乙兩物體可以看作質(zhì)點，重力加速度為g，求：
（1）甲物與乙物體碰撞過程中，甲物體受到的沖量．
（2）甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，甲乙構成的整體對軌道最低點的壓力．
（3）甲乙構成的整體從B運動到D的過程中，摩擦力對其做的功．

Answer 1

分析 （1）先研究甲物體從A點下滑到B點的過程，根據(jù)機械能守恒定律求出A剛下滑到B點時的速度，再由動量守恒定律求出碰撞后甲乙的共同速度，即可對甲，運用動量定理求甲物與乙物體碰撞過程中，甲物體受到的沖量．
（2）甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，對于甲乙構成的整體，由牛頓第二定律求出軌道對整體的支持力，再由牛頓第三定律求得整體對軌道最低點的壓力．
（3）甲乙構成的整體從B運動到D的過程中，運用動量定理求摩擦力對其做的功．

解答 解：（1）甲物體從A點下滑到B點的過程，
根據(jù)機械能守恒定律得：2mgR=$\frac{1}{2}$•2mv₀²，解得：v₀=$\sqrt{2gR}$，
甲乙碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，取向左方向為正，根據(jù)動量守恒定律得：
2mv₀=（m+2m）mv，解得：v=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2gR}$，
甲物與乙物體碰撞過程，對甲，由動量定理得：
I_甲=2mv-2mv₀=-$\frac{2}{3}$m$\sqrt{2gR}$，方向：水平向右；
（2）甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，對甲乙構成的整體，
由牛頓第二定律得：F-（m+2m）g=（m+2m）$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：F=$\frac{17}{3}$mg，
根據(jù)牛頓第三定律，對軌道的壓力F′=F=$\frac{17}{3}$mg，方向：豎直向下；
（3）對整體，從B到D過程，由動能定理得：
-3mgR（1-cos60°）+W_f=0-$\frac{1}{2}$•3mv²，
解得，摩擦力對整體做的功為：W_f=-$\frac{1}{6}$mgR；
答：（1）甲物與乙物體碰撞過程中，甲物體受到的沖量大小為：$\frac{2}{3}$m$\sqrt{2gR}$，方向：水平向右．
（2）甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，甲乙構成的整體對軌道最低點的壓力大小為：$\frac{17}{3}$mg，方向：豎直向下．
（3）甲乙構成的整體從B運動到D的過程中，摩擦力對其做的功為-$\frac{1}{6}$mgR．

點評 解決本題的關鍵按時間順序分析清楚物體的運動情況，把握每個過程的物理規(guī)律，知道碰撞的基本規(guī)律是動量守恒定律．摩擦力是阻力，運用動能定理是求變力做功常用的方法．