Question

8．如圖，一個質量為m=2.0kg的小球在輕質細繩牽引下，在光滑的水平面上以v₁=2.0m/s做勻速圓周運動，圓周半徑為r₁=0.8m．現將水平面上牽引的細繩迅速放長d=0.2m，之后小球能在半徑更大的軌道上做勻速圓周運動．求
（1）小球在兩次圓周運動的過渡中經歷的時間；
（2）細繩最終的拉力．

Answer 1

分析 放長繩子后，小球先做勻速直線運動，根據勾股定理列方程求小球的位移；小球在新軌道上做勻速圓周運動的線速度為原速度在垂直繩子方向上的分量，從而求出新軌道上的線速度，然后根據公式v=ωr求解角速度．

解答 解：
（1）依題意，放開繩子，小球沿切線方向做離心運動（如圖），直至細繩再次張緊，之后小球做半徑為r₂=r₁+d勻速圓周運動．這個過渡中，小球運動的距離為
x²+R²=（R+0.2）²
解得：x=0.6m
所需時間為：t=$\frac{x}{{v}_{1}}=\frac{0.6}{1}=0.3$s；
（2）細繩再次張緊時，小球速度的徑向分量減為0，在新軌道上運動的速度大小為其切向分量，即

${v}_{2}={v}_{1}cosθ=\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}{v}_{1}=1.6$m/s
細繩拉力提供向心力，故：$F=\frac{m{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$
代入數據解得F=5.12N
答：（1）小球在兩次圓周運動的過渡中經歷的時間是0.3s；
（2）細繩最終的拉力是5.12N．

點評 小球先做勻速直線運動；小球在新軌道上做勻速圓周運動的線速度為v₂為原速度在垂直于繩子方向上的分量，畫出圖后不難求解．