Question

19．如圖所示，一根勻質(zhì)繩的質(zhì)量為M，其兩端固定在天花板上的A、B兩點(diǎn)．在繩的中點(diǎn)懸掛一質(zhì)量為m的重物，懸掛重物的繩質(zhì)量不計(jì)，設(shè)α、β分別為繩的端點(diǎn)和中點(diǎn)處的切線方向與豎直方向的夾角，則$\frac{tanα}{tanβ}$的大小為（　�。�

• A． $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{M+m}{m}$
• B． $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{M}{m}$
• C． $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{m+M}$
• D． $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{M}$

Answer 1

分析 以整體為研究對象，根據(jù)平衡條件分析端點(diǎn)處對繩子的拉力與總重力的關(guān)系式；對左半邊繩子研究，得到端點(diǎn)和中點(diǎn)繩子的拉力的關(guān)系式；再采用比例法求解．

解答 解：設(shè)繩子端點(diǎn)處和中點(diǎn)處繩子張力分別為F₁、F₂．
對整體研究，根據(jù)平衡條件得
    F₁cosα=$\frac{1}{2}（M+m）g$  ①
對左半邊繩子研究得
    F₁cosα=F₂cosβ+$\frac{1}{2}Mg$  ②
    F₁sinα=F₂sinβ         ③
由①②得到  F₂cosβ=$\frac{1}{2}mg$  ④
則由③：①得  tanα=$\frac{2{F}_{2}sinβ}{（M+m）g}$⑤
  由③：④得  tanβ=$\frac{2{F}_{1}sinα}{mg}$⑥
所以由③⑤⑥聯(lián)立得  $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{M+m}$
故選：C

點(diǎn)評 本題是力平衡問題，難點(diǎn)存在如何選擇研究對象和如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識變形求解．