Question

17．如圖1所示，在xOy坐標(biāo)系中，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對(duì)稱，極板長(zhǎng)度和板間距均為l，緊靠極板的右邊緣的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域由△ABO和矩形OBCD構(gòu)成，其中∠OAB=60°，OD=OA．磁場(chǎng)方向垂直于平面xOy向里，D、A位于y軸上．位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右連續(xù)發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為+q、速度相同的帶電粒子，在0-3t₀時(shí)間內(nèi)兩板間加上如圖2所示的電壓；已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩極板間的粒子在t₀時(shí)刻射入磁場(chǎng)，恰好不會(huì)從磁場(chǎng)邊界射出磁場(chǎng)區(qū)域且圓心在x軸上．l、m、q、t₀為已知量，U₀=$\frac{{m{l^2}}}{qt_0^2}$，不考慮P、Q兩板電壓的變化對(duì)磁場(chǎng)的影響，也不考慮粒子的重力及粒子間的相互影響．求：

（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小和方向；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小及磁場(chǎng)區(qū)域的面積；（結(jié)果用根號(hào)表示）
（3）t=t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知粒子在兩平行板間做類平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)性質(zhì)可分別求出粒子水平方向和豎直方向的速度，最后對(duì)這兩個(gè)速度進(jìn)行合成，由于速度為矢量需注意方向問(wèn)題；
（2）需畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求出粒子運(yùn)動(dòng)半徑，再求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．由幾何知識(shí)可求出AB邊長(zhǎng)，最后求出磁場(chǎng)區(qū)域面積；
（3）先判斷粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)公式求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子在t₀時(shí)刻射出電場(chǎng)，在電場(chǎng)中類平拋；
水平方向：${t_0}=\frac{l}{v_0}$
豎直方向：$y=\frac{1}{2}\frac{{{U_0}q}}{lm}t_0^2=\frac{l}{2}$
在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能定理：$q\frac{U_0}{l}y=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$
解得速度大�。�$v=\sqrt{2}{v_0}=\frac{{\sqrt{2}l}}{t_0}$
速度方向：與水平方向成45°
（2）臨界軌跡如圖所示，設(shè)粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r₁；
由幾何關(guān)系：${r_1}=\frac{l}{{2cos{{45}^0}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}l$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)：$qvB=m\frac{v^2}{r_1}$
解得$B=\frac{mv}{{q{r_1}}}=\frac{2m}{{q{t_0}}}$
設(shè)AB長(zhǎng)為a，有幾何關(guān)系：$\overline{OB}=\frac{r_1}{{sin{{30}^0}}}+\frac{l}{2}tan{45^0}=asin{60^0}$
解得$a=\frac{{2\sqrt{6}+\sqrt{3}}}{3}l$
磁場(chǎng)區(qū)域的面積：$S=\frac{1}{4}{a^2}sin{60^0}+\frac{1}{2}{a^2}sin{60^0}=\frac{{9\sqrt{3}+4\sqrt{6}}}{8}{l^2}$
（3）t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在兩板間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在2t₀時(shí)刻沿x方向進(jìn)入磁場(chǎng)，設(shè)進(jìn)入磁場(chǎng)后勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r₂，則$q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{r_2}$
解得${r_2}=\frac{{m{v_0}}}{qB}=\frac{l}{2}$
由$\frac{a}{2}＞l=2{r_2}$知，粒子將從OD邊射出磁場(chǎng)                    
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期$T=\frac{{2π{r_2}}}{v_0}=π{t_0}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$t=\frac{T}{2}=\frac{{π{t_0}}}{2}$
答：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為$\frac{\sqrt{2}l}{{t}_{0}}$，方向與水平方向成45°；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小及磁場(chǎng)區(qū)域的面積$\frac{9\sqrt{3}+4\sqrt{6}}{8}{l}^{2}$；
（3）t=t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{π{t}_{0}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，主要考查考生綜合分析問(wèn)題能力，求解的關(guān)鍵是找到粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡剛好和AB邊相切，找到幾何關(guān)系求出AB邊的長(zhǎng)度．本題為壓軸題，對(duì)學(xué)生能力要求很高．