Question

7．如圖所示是一個(gè)半徑為R、高為H=4R的薄壁圓柱形玻璃杯，杯底是一個(gè)半徑為R的半玻璃球，O為杯底中心．現(xiàn)讓一束平行光垂直杯底BC射入玻璃杯，玻璃的折射率n₁=$\frac{5}{3}$，求：
①若是空杯，光透過玻璃底后照亮杯壁的高度h₁；
②若裝滿折射率為n₂=$\frac{4}{3}$的水，光透過玻璃底后照亮杯壁的高度h₂．

Answer 1

分析 ①先根據(jù)臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求出臨界角，再根據(jù)幾何知識(shí)求解h₁；
②根據(jù)折射定律求出折射角，再根據(jù)幾何知識(shí)求解h₂．

解答 解：①如圖所示光線從E 點(diǎn)射入杯內(nèi)時(shí)恰好全反射，由折射定律有
  sin C=$\frac{1}{{n}_{1}}$
由幾何關(guān)系有
  h₁=H-[Rcos C+R （1+sin C）tan C]=H-R$\frac{1+sinC}{cosC}$
代入數(shù)據(jù)得 h₁=2R
②裝滿水后由折射定律有 sin C′=$\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}$
同理有 h₂=H-R$\frac{1+sinC′}{cosC′}$
代入數(shù)據(jù)有 h₂=R
答：
①若是空杯，光透過玻璃底后照亮杯壁的高度h₁是2R．
②若裝滿折射率為n₂=$\frac{4}{3}$的水，光透過玻璃底后照亮杯壁的高度h₂是R．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵作出光路圖，結(jié)合折射定律，全反射的條件進(jìn)行求解，本題對數(shù)學(xué)幾何能力要求較高，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中需加強(qiáng)訓(xùn)練．