Question

2．已知地球半徑為R₀，地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω₀，地球表面附近的重力加速度為g，一顆在赤道上空運(yùn)行的人造衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑為2R₀，引力常數(shù)為G，求
（1）地球質(zhì)量M；
（2）該衛(wèi)星的角速度ω；
（3）若該衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)方向與地球的自轉(zhuǎn)方向相同，某時(shí)刻衛(wèi)星通過(guò)赤道上某建筑物的正上方，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后它再次通過(guò)該建筑物上方．

Answer 1

分析 在天體表面，重力約等于萬(wàn)有引力，由此求天體質(zhì)量．
人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由地球的萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解衛(wèi)星的角速度．
衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，建筑物隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)衛(wèi)星轉(zhuǎn)過(guò)的角度與建筑物轉(zhuǎn)過(guò)的角度之差等于2π時(shí)，衛(wèi)星再次出現(xiàn)在建筑物上空

解答 解：（1）天體表面，重力約等于萬(wàn)有引力，在地表有：
$\frac{GMm}{{R}_{0}^{2}}=mg$     
解得：M=$\frac{{R}_{0}^{2}g}{G}$
（2）對(duì)衛(wèi)星，萬(wàn)有引力提供向心力，有：$\frac{GMm}{4{R}_{0}^{2}}=m•4{R}_{0}^{2}{ω}^{2}$
得：ω=$\sqrt{\frac{g}{8{R}_{0}}}$
（3）設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t它再次通過(guò)建筑物上方，則有：（ω-ω₀）t=2π
解得：t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{8{R}_{0}}}-{ω}_{0}}$
答：（1）地球質(zhì)量$\frac{{R}_{0}^{2}g}{G}$；
（2）該衛(wèi)星的角速度$\sqrt{\frac{g}{8{R}_{0}}}$；
（3）若該衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)方向與地球的自轉(zhuǎn)方向相同，某時(shí)刻衛(wèi)星通過(guò)赤道上某建筑物的正上方，經(jīng)過(guò)$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{8{R}_{0}}}-{ω}_{0}}$時(shí)間后它再次通過(guò)該建筑物上方．

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力和天體表面，重力約等于萬(wàn)有引力是重要的公式．