Question

如圖所示，兩根間距為L(zhǎng)的金屬導(dǎo)軌MN和PQ，電阻不計(jì)，左端向上彎曲，其余水平，水平導(dǎo)軌左端有寬度為d、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)I，右端有另一磁場(chǎng)II，其寬度也為d，但方向豎直向下，磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度大小均為B．有兩根質(zhì)量均為m、電阻均為R的金屬棒a和b與導(dǎo)軌垂直放置，b棒置于磁場(chǎng)II中點(diǎn)C、D處，導(dǎo)軌除C、D兩處（對(duì)應(yīng)的距離極短）外其余均光滑，兩處對(duì)棒可產(chǎn)生總的最大靜摩擦力為棒重力的K倍，a棒從彎曲導(dǎo)軌某處由靜止釋放．當(dāng)只有一根棒作切割磁感線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它速度的減小量與它在磁場(chǎng)中通過(guò)的距離成正比，即△v∝△x．
（1）若a棒釋放的高度大于h₀，則a棒進(jìn)入磁場(chǎng)I時(shí)會(huì)使b棒運(yùn)動(dòng)，判斷b 棒的運(yùn)動(dòng)方向并求出h₀．
（2）若將a棒從高度小于h₀的某處釋放，使其以速度v₀進(jìn)入磁場(chǎng)I，結(jié)果a棒以

v0

2

的速度從磁場(chǎng)I中穿出，求在a棒穿過(guò)磁場(chǎng)I過(guò)程中通過(guò)b棒的電量q和兩棒即將相碰時(shí)b棒上的電功率P_b．
（3）若將a棒從高度大于h₀的某處釋放，使其以速度v₁進(jìn)入磁場(chǎng)I，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁后a棒從磁場(chǎng)I穿出時(shí)的速度大小為

2v1

3

，求此時(shí)b棒的速度大小，在如圖坐標(biāo)中大致畫出t₁時(shí)間內(nèi)兩棒的速度大小隨時(shí)間的變化圖象，并求出此時(shí)b棒的位置．

Answer 1

（1）根據(jù)左手定則判斷知b棒向左運(yùn)動(dòng)．
a棒從h₀高處釋放后在彎曲導(dǎo)軌上滑動(dòng)時(shí)機(jī)械能守恒，有
mgh₀=

1

2

mv²
得v=

2gh0

a棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)I時(shí)E=BLv
此時(shí)感應(yīng)電流大小I=

E

2R

此時(shí)b棒受到的安培力大小F=BIL
依題意，有F=Kmg
求得h₀=

2K2m2gR2

B4L4

（2）由于a棒從小于進(jìn)入h₀釋放，因此b棒在兩棒相碰前將保持靜止．
流過(guò)電阻R的電量q=

.

I

△t
又

.

I

=

. E

R總

=

B△S

R總△t

所以在a棒穿過(guò)磁場(chǎng)I的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電量
q=

BLd

2R

將要相碰時(shí)a棒的速度
v=

v0

2

-

v0- v0 2

d

×

d

2

=

v0

4

此時(shí)電流I=

BLv0

8R

此時(shí)b棒電功率P_b=I²R=

B2L2v 20

64R

．
（3）由于a棒從高度大于h₀處釋放，因此當(dāng)a棒進(jìn)入磁場(chǎng)I后，b棒開始向左運(yùn)動(dòng)．由于每時(shí)每刻流過(guò)兩棒的電流強(qiáng)度大小相等，兩磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度大小也相等，所以兩棒在各自磁場(chǎng)中都做變加速運(yùn)動(dòng)，且每時(shí)每刻兩棒的加速度大小均相同，所以當(dāng)a棒在t₁時(shí)間內(nèi)速度改變（v₁-

2

3

v₁）=

1

3

v₁時(shí)，b棒速度大小也相應(yīng)改變了

1

3

v₁，即此時(shí)b棒速度大小為

1

3

v₁． 
兩棒的速度大小隨時(shí)間的變化圖象大致如圖所示：



通過(guò)圖象分析可知，在t₁時(shí)間內(nèi)，兩棒運(yùn)動(dòng)距離之和為v₁t₁，所以在t₁時(shí)間內(nèi)b棒向左運(yùn)動(dòng)的距離為△S=（v₁t₁-d），
距離磁場(chǎng)II左邊界距離為
△L=

d

2

-△S=

3d

2

-v₁t₁．