Question

10．牛頓在1684年提出這樣一些理論：當(dāng)被水平拋出物體的速度達(dá)到一定數(shù)值v₁時，它會沿著一個圓形軌道圍繞地球飛行而不落地，這個速度稱為環(huán)繞速度；當(dāng)拋射的速度增大到另一個臨界值v₂時，物體的運(yùn)動軌道將成為拋物線，它將飛離地球的引力范圍．這里的v₂我們稱其為逃離速度，對地球來講逃離速度為11.2km/s．法國數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家拉普拉斯于1796年曾預(yù)言：“一個密度如地球而直徑約為太陽250倍的發(fā)光恒星，由于其引力作用，將不允許任何物體（包括光）離開它．由于這個原因，宇宙中有些天體將不會被我們看見．”這種奇怪的天體也就是愛因斯坦在廣義相對論中預(yù)言的“黑洞（black hole）”．已知對任何密度均勻的球形天體，v₂恒為v₁的$\sqrt{2}$倍，萬有引力恒量為G，地球的半徑約為6400km，太陽半徑為地球半徑的109倍，光速c=3.0×10⁸m/s．請根據(jù)牛頓理論求：
（1）求質(zhì)量為M、半徑為R的星體逃離速度v₂的大��；
（2）如果有一黑洞，其質(zhì)量為地球的10倍，則其半徑應(yīng)為多少？
（3）若宇宙中一顆發(fā)光恒星，直徑為太陽的248倍，密度和地球相同，試通過計(jì)算分析，該恒星能否被我們看見？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)物體繞星球表面附近做勻速圓周運(yùn)動時，由星球的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出v₁．星體逃離速度v₂的大小等于$\sqrt{2}$v₁．
（2）根據(jù)黑洞與地球的質(zhì)量關(guān)系，得到黑洞的逃離速度表達(dá)式，在黑洞表面脫離的速度應(yīng)大于光速．即可求出黑洞的半徑．
（3）根據(jù)直徑與密度關(guān)系，求出恒星的逃離速度，若此速度大于光速，我們將看不見該恒星．

解答 解：（1）由$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，得v₁=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
  由題得：星體逃離速度v₂=$\sqrt{2}$v₁=$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$
（2）題中M_黑洞=10M_地球
地球和黑洞的脫離速度分別為：
  對地球：v_2地球=$\sqrt{\frac{2G{M}_{地球}}{{R}_{地球}}}$；
  對黑洞：v_2黑洞=$\sqrt{\frac{2G{M}_{黑洞}}{{R}_{黑洞}}}$＞c（c為光速）
兩式相比得：$\sqrt{\frac{{M}_{黑洞}{R}_{地球}}{{M}_{地球}{R}_{黑洞}}}$=$\sqrt{\frac{10{R}_{地球}}{10R黑洞}}$=$\frac{{v}_{2黑洞}}{{v}_{2地球}}$≥$\frac{c}{{v}_{2地球}}$
得  R_黑洞≤$\frac{10{R}_{地球}{v}_{2地球}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{10×6400×1{0}^{3}×（11.2×1{0}^{3}）^{2}}{（3×1{0}^{8}）^{2}}$m=0.089m
（3）已知R_恒星=248×109 R_地球，M_恒星=（248×109）³M_地球（密度相同）
v_2恒星=11.2×10³×248×109 m/s=3.028×10⁸ m/s＞c，所以該恒星不能被我們看見．         
答：
（1）質(zhì)量為M、半徑為R的星體逃離速度v₂的大小為$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$；
（2）如果有一黑洞，其質(zhì)量為地球的10倍，則其半徑應(yīng)為0.089m．
（3）若宇宙中一顆發(fā)光恒星，直徑為太陽的248倍，密度和地球相同，通過計(jì)算分析可知，該恒星不能被我們看見．

點(diǎn)評 本題考查了萬有引力定律定律及圓周運(yùn)動向心力公式的直接應(yīng)用，要注意任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應(yīng)大于光速．