Question

14．一玻璃立方體中心有一點光源，現(xiàn)在立方體的部分表面鍍上不透光薄膜，以致從光源發(fā)出的光線只經一次折射不能透出立方體，已知該玻璃的折射率為$\sqrt{2}$，鍍膜的面積與立方體表面積之比的最小值為$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 通過光線在鍍膜部分發(fā)生全反射，根據(jù)臨界情況，通過幾何關系求出鍍膜面積與立方體表面積之比的最小值．

解答 解：如圖，考慮從玻璃立方體中心O點發(fā)出的一條光線，假設它斜射到玻璃立方體上表面發(fā)生折，根據(jù)折射定律有：nsinθ=sinα
式中，n是玻璃的折射率，入射角等于θ，α是折射角
現(xiàn)假設A點是上表面面積最小的不透明薄膜邊緣上的一點．由題意，在A點剛好發(fā)生全反射，故${α}_{A}=\frac{π}{2}$．
設線段OA在立方體上表面的投影長為R，由幾何關系有：$sin{θ}_{A}=\frac{{R}_{A}}{\sqrt{{{R}_{A}}^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}}}$．
式中a為玻璃立方體的邊長，有①②③式得：${R}_{A}=\frac{a}{2\sqrt{{n}^{2}-1}}$．
則${R}_{A}=\frac{a}{2}$
由題意，上表面所鍍的面積最小的不透明薄膜應是半徑為R_A的圓．所求的鍍膜面積S'與玻璃立方體的表面積S之比為$\frac{s′}{s}=\frac{6π{{R}_{A}}^{2}}{6{a}^{2}}$=$\frac{π}{4}$．
答：鍍膜的面積與立方體表面積之比的最小值為$\frac{π}{4}$．

點評 解決本題的關鍵確定臨界情況，根據(jù)折射定律，通過幾何關系進行求解．