Question

7．如圖所示，在直角梯形ABDC區(qū)域內(nèi)存在有平行于AC向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在BD邊以下到CD延長(zhǎng)線的區(qū)域存在有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未標(biāo)出），已知AC邊長(zhǎng)L，AB邊長(zhǎng)$\frac{3L}{2}$，CD邊長(zhǎng)$\frac{L}{2}$．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子（重力不計(jì)）以初速度v₀從A點(diǎn)沿AB方向進(jìn)入電場(chǎng)，從BD的中點(diǎn)P處進(jìn)入磁場(chǎng)，并從CD延長(zhǎng)線上的O點(diǎn)以垂直于DC邊的速度離開磁場(chǎng)，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小和帶電粒子經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)速度v的大小和方向；
（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向；
（3）粒子從A到O經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)P點(diǎn)后，水平位移是豎直位移的2倍，抓住這一關(guān)系，求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�由動(dòng)能定理，代入求出的電場(chǎng)強(qiáng)度，即可得出v₀與v_y的關(guān)系，從而求出經(jīng)過P點(diǎn)的速度大小和方向．
（2）作出進(jìn)入磁場(chǎng)的軌跡圖，確定出圓心，根據(jù)幾何關(guān)系得出半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，通過半徑公式，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小，根據(jù)洛倫茲力的方向確定出磁場(chǎng)的方向．
（3）粒子在電場(chǎng)中沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出時(shí)間，然后又粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度與周期的關(guān)系求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，求和即可．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，則水平方向：L=v₀t
         豎直方向：$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}_{1}^{2}$
         解得：$E=\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$
        在豎直方向粒子做勻變速運(yùn)動(dòng)豎直分速度為v_y，則有$\frac{qE}{m}•{t}_{1}$
      代入得：v_y=v₀
P點(diǎn)的速度為$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$
速度與水平方向的夾角為θ：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$
     所以：θ=45°
 （2）由幾何關(guān)系可知：粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角為45°   
    
$sin45°=\frac{\frac{L}{2}}{r}$
       得：$r=\frac{\sqrt{2}}{2}L$
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
得：$B=\frac{2m{v}_{0}}{qL}$
磁場(chǎng)方向垂直紙面向外．
（3）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{1}=\frac{L}{{v}_{0}}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{45°}{360°}•\frac{2πm}{qB}=\frac{πL}{8{v}_{0}}$
粒子從A到O運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{（π+8）L}{8{v}_{0}}$
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$，帶電粒子經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)速度v的大小是2v₀和方向向右下45°；
（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$，方向垂直紙面向外；
（3）粒子從A到O經(jīng)歷的時(shí)間是$\frac{（π+8）L}{8{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的類平拋和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力．