Question

3．如圖所示，在距水平地面高h(yuǎn)₁=1.2m的光滑水平臺(tái)面上，一個(gè)質(zhì)量m=1kg的小物塊壓縮彈簧后被鎖扣K鎖住，儲(chǔ)存了一定量的彈性勢(shì)能E_p．現(xiàn)打開鎖扣K，物塊與彈簧分離后將以一定的水平速度v₁向右滑離平臺(tái)，并恰好從B點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入光滑豎直的圓弧軌道BC．已知B點(diǎn)距水平地面的高h(yuǎn) ₂=0.6m，圓弧軌道BC的圓心O與水平臺(tái)面等高，C點(diǎn)的切線水平，并與水平地面上長(zhǎng)為L(zhǎng)=2.8m的粗糙直軌道CD平滑連接，小物塊與右邊的豎直墻壁發(fā)生碰撞可以等速率反彈，重力加速度g=10m/s²，空氣阻力忽略不計(jì)．試求：
（1）壓縮的彈簧在被鎖扣K鎖住時(shí)所儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_p
（2）若要使小物塊最終停在CD區(qū)域，那么小物塊與軌道CD之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ應(yīng)該滿足怎樣的條件．
（3）今在D處放一極小的接收容器，物塊到達(dá)D處就能被吸收．要使小物塊無摩擦地沿直線通過CD從而進(jìn)入D處的接收裝置，可以從C點(diǎn)開始在豎直面內(nèi)對(duì)小物塊施加一個(gè)恒力，試求此恒力的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由速度公式求得小物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)豎直方向的速度，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法求解物塊運(yùn)動(dòng)到B的瞬時(shí)速度v_B；小物塊從釋放到運(yùn)動(dòng)達(dá)到A的過程中，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求彈簧開始時(shí)儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能大小；
（2）根據(jù)能量守恒列出能量等式解決問題．由于物塊的末位置不確定，要考慮物塊可能的滑過的路程；
（3）從B到D由動(dòng)能定理可求得對(duì)小物塊施加恒力的大小和方向．

解答 解：（1）小物塊由A運(yùn)動(dòng)到B的過程中做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，
小物塊由A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間為：t=$\sqrt{\frac{2（{h}_{1}-{h}_{2}）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2（1.2-0.6）}{10}}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$s                     　
到達(dá)B點(diǎn)時(shí)豎直方向的速度大小為：v_By=gt=2$\sqrt{3}$m/s                               
根據(jù)圖中幾何關(guān)系可知，cos∠BOC=$\frac{{h}_{1}-{h}_{2}}{{h}_{1}}$=$\frac{1.2-0.6}{1.2}$=$\frac{1}{2}$
解得：∠BOC=60°，所以v_B與水平方向的夾角為60°
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：v_B=$\frac{{v}_{By}}{sin6{0}^{0}}$=4m/s，v₀=v_Bcos60°=2m/s                            
小物塊從釋放到運(yùn)動(dòng)達(dá)到A的過程中，機(jī)械能守恒，有：E_P=$\frac{1}{2}$mv₀²=2J                                 
（2）依據(jù)題意知，①μ的最大值對(duì)應(yīng)的是物塊撞墻前瞬間的速度剛好等于零，根據(jù)能量關(guān)系有：mgh₁+E_p=μmgL   
代入數(shù)據(jù)解得：μ=$\frac{1}{2}$
②對(duì)于μ的最小值求解，首先應(yīng)判斷物塊第一次碰墻后反彈，能否沿圓軌道滑離B點(diǎn)，設(shè)物塊碰前在D處的速度為v₂，由能量關(guān)系有：
  mgh₁+E_p=μmgL+$\frac{1}{2}$mv₂²
第一次碰墻后返回至C處的動(dòng)能為：E_kC=$\frac{1}{8}$mv₂²-μmgL  可知即使μ=0，有：$\frac{1}{2}$mv₂²=14J，$\frac{1}{8}$mv₂²=3.5J＜mgh₂=6J，小物塊不可能返滑至B點(diǎn)      
故μ的最小值對(duì)應(yīng)著物塊撞后回到圓軌道最高某處，又下滑經(jīng)C恰好至D點(diǎn)停止，因此有：$\frac{1}{8}$mv₂²=2μmgL，聯(lián)立mgh₁+E_p=μmgL+$\frac{1}{2}$mv₂²，解得：μ=$\frac{1}{18}$
綜上可知滿足題目條件的動(dòng)摩擦因數(shù)μ值為：$\frac{1}{18}$＜μ≤$\frac{1}{2}$
（3）要使小物塊無摩擦地沿直線通過CD從而進(jìn)入D處的接收裝置，即是物塊做減速到D點(diǎn)速度剛減為0，所以對(duì)小物塊施加一個(gè)向左的恒力，
從B到D，由動(dòng)能定理可得：mgh₂-FL=0-$\frac{1}{2}$mv_B²
代入數(shù)據(jù)解得：F=5N，方向向左．
答：（1）壓縮的彈簧在被鎖扣K鎖住時(shí)所儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為2J；
（2）動(dòng)摩擦因數(shù)μ應(yīng)該滿足的條件是$\frac{1}{18}$＜μ≤$\frac{1}{2}$；
（3）恒力的大小為5N，方向向左．

點(diǎn)評(píng) 做物理問題應(yīng)該先清楚研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)利用物理規(guī)律解決問題；
關(guān)于能量守恒的應(yīng)用，要清楚物體運(yùn)動(dòng)過程中能量的轉(zhuǎn)化；
動(dòng)能定理可以分過程也可以全過程使用，應(yīng)適當(dāng)選擇．