Question

【題目】物理學(xué)中，力與運(yùn)動(dòng)關(guān)系密切，而力的空間積累效果——做功，又是能量轉(zhuǎn)化的量度。因此我們研究某些運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以先分析研究對(duì)象的受力特點(diǎn)，進(jìn)而分析其能量問題。已知重力加速度為，且在下列情境中，均不計(jì)空氣阻力。

（1）勁度系數(shù)為的輕質(zhì)彈簧上端固定，下端連一可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊，若以小物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以豎直向下為正方向建立坐標(biāo)軸，如圖所示，用表示小物塊由平衡位置向下發(fā)生的位移。求小物塊的合力與的關(guān)系式，并據(jù)此說明小物塊的運(yùn)動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；

（2）系統(tǒng)的總勢(shì)能為重力勢(shì)能與彈性勢(shì)能之和。請(qǐng)你結(jié)合小物塊的受力特點(diǎn)和求解變力功的基本方法，以平衡位置為系統(tǒng)總勢(shì)能的零勢(shì)能參考點(diǎn)，推到小物塊振動(dòng)位移為時(shí)系統(tǒng)總勢(shì)能的表達(dá)式。

（3）如圖所示為理想單擺，擺角最夠小，可認(rèn)為是簡(jiǎn)寫運(yùn)動(dòng)。其平衡位置記為點(diǎn)。若已知擺球的質(zhì)量為，擺長(zhǎng)為，在偏角很小時(shí)，擺球?qū)τ?/span>點(diǎn)的位移的大小與角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)、弦長(zhǎng)都近似相等，即近似滿足：。請(qǐng)推導(dǎo)得出小球在任意位置處的回復(fù)力與位移的比例常數(shù)的表達(dá)式。

Answer 1

【答案】(1) 小物塊的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(2)(3)推導(dǎo)見解析，

【解析】

(1)設(shè)小物塊位于平衡位置時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為x0，有

當(dāng)小物塊相對(duì)于平衡位置的向下位移為x時(shí)，受彈力FT和重力G作用，如左圖所示，合力

解得

即合力與位移大小成正比，方向相反，說明小物塊的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；

(2)合力F與位移x關(guān)系圖線如圖所示。由圖可知物塊由平衡位置到位移為x處的運(yùn)動(dòng)過程中合力F做的功

由動(dòng)能定理有

依據(jù)機(jī)械能守恒定律有

得

以平衡位置為零勢(shì)能參考點(diǎn)，則

(3)擺球位移為x'處，受力示意圖見圖所示：

以O'為原點(diǎn)，以水平向右的方向?yàn)?/span>x軸的正方向建立坐標(biāo)系，在擺角很小時(shí)

在擺球位移為x'時(shí)，回復(fù)力為

比例常數(shù)為