Question

2．迄今發(fā)現(xiàn)的二百余顆太陽系外行星大多不適宜人類居住，繞恒星“Gliese581”運行的行星“G1-58lc”卻很值得我們期待．該行星的溫度在O℃到40℃之間、質量是地球的6倍、直徑是地球的1.5倍、公轉周期為13個地球日．“Gliese581”的質量是太陽質量的0.31倍．設該行星與地球均視為質量分布均勻的球體，繞其中心天體做勻速圓周運動，則（　　）

• A． 在該行星和地球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度相同
• B． 如果人到了該行星，其體重是地球上的$\frac{8}{3}$倍
• C． 該行星的公轉半徑與日地距離相等
• D． 該行星公轉速率是地球的$\frac{1}{13}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式表示出所要求解的第一宇宙速度和該行星與“Gliese581”的距離．根據(jù)萬有引力近似等于重力，求出該行星表面與地球表面重力加速度之比，即可求出體重關系．

解答 解：A、當衛(wèi)星繞行星表面附近做勻速圓周運動時的速度即為行星的第一宇宙速度，由$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
得v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，M是行星的質量，R是行星的半徑，則得該行星與地球的第一宇宙速度之比為v_行：v_地=$\frac{\sqrt{\frac{6GM}{1.5R}}}{\sqrt{\frac{GM}{R}}}=\frac{2}{1}$．故A錯誤；
B、由萬有引力近似等于重力，得$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
得行星表面的重力加速度為g=$G\frac{M}{{R}^{2}}$，則得該行星表面與地球表面重力加速度之比為g_行：g_地=$\frac{\frac{6GM}{（1.5R）^{2}}}{\frac{GM}{{R}^{2}}}=\frac{8}{3}$所以如果人到了該行星，其體重是地球上的$\frac{8}{3}$倍．故B正確；
C、根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
行星“G1-58lc”公轉周期為13個地球日．
將已知條件代入解得：行星“G1-58lc”的軌道半徑與地球軌道半徑r_行G：r_日地=$\root{3}{\frac{0.31×（13）^{2}}{（365）^{2}}}$≠1，故C錯誤；
D、根據(jù)圓周運動公式得：v=$\frac{2πr}{T}$，r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，所以v=2π$\root{3}{\frac{GM}{4{π}^{2}T}}$，該行星公轉速率與地球公轉速率之比是$\root{3}{\frac{0.31×365}{13}}$≈2.05，故D錯誤；
故選：B．

點評 本題行星繞恒星、衛(wèi)星繞行星的類型，建立模型，根據(jù)萬有引力提供向心力，萬有引力近似等于重力進行求解．