Question

13．某星球上沒(méi)有任何氣體．若宇航員乘坐飛船繞該星球表面無(wú)動(dòng)力運(yùn)行的周期為T(mén)，著陸后宇航員在該星球表面附近從h高處以初速度v₀水平拋出一個(gè)小球，測(cè)出小球的水平射程為L(zhǎng)，已知萬(wàn)有引力常量為G．求：
（1）該星球的密度；
（2）若在該星球表面發(fā)射一顆衛(wèi)星，那么發(fā)射速度至少為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合周期的大小求出星球的質(zhì)量，通過(guò)星球的體積求出星球的密度．
（2）根據(jù)水平位移和初速度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合豎直高度，運(yùn)用位移時(shí)間公式求出星球表面的重力加速度．根據(jù)星球表面的重力加速度，根據(jù)星球表面重力提供向心力求出發(fā)射的速度．

解答 解：（1）在星球表面，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
又M=$\frac{4}{3}π{R}^{3}•ρ$
解得：$ρ=\frac{3π}{G{T}^{2}}$
（2）設(shè)星球表面的重力加速度為g，小球的質(zhì)量為m，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，
故有 $h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，L=v₀t
解得$g=\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{L}^{2}}$．
星球表面，萬(wàn)有引力等于重力，則有$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
該星球表面處的最小發(fā)射速度即為該星球的第一宇宙速度，設(shè)為為v，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m₁，則在星球表面
$G\frac{M{m}_{1}}{{R}^{2}}={m}_{1}\frac{{v}^{2}}{R}$
又$G\frac{M{m}_{1}}{{R}^{2}}={m}_{1}g$
解得：v=$\frac{hT{{v}_{0}}^{2}}{π{L}^{2}}$
答：（1）該星球的密度為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$；
（2）若在該星球表面發(fā)射一顆衛(wèi)星，那么發(fā)射速度至少為$\frac{hT{{v}_{0}}^{2}}{π{L}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用，難度適中．