Question

【題目】過山車是游樂場(chǎng)中常見的設(shè)施.下圖是一種過山車的簡(jiǎn)易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個(gè)圓形軌道組成，B、C、D分別是三個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，B、C間距與C、D間距相等，半徑R1＝2.0 m、R2＝1.4 m.一個(gè)質(zhì)量為m＝1.0 kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以v0＝12.0 m/s的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，A、B間距L1＝6.0 m.小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，圓形軌道是光滑的.假設(shè)水平軌道足夠長(zhǎng)，圓形軌道間不相互重疊.重力加速度取g＝10 m/s2，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字.試求：

(1)小球在經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球作用力的大小；

(2)如果小球恰能通過第二個(gè)圓形軌道，B、C間距L應(yīng)是多少；

(3)在滿足(2)的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑R3應(yīng)滿足的條件；小球最終停留點(diǎn)與起點(diǎn)A的距離.

Answer 1

【答案】（1）10.0N；（2）12.5m(3) 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

【解析】試題分析：（1）（4分）設(shè)小于經(jīng)過第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度為v1根據(jù)動(dòng)能定理

①

小球在最高點(diǎn)受到重力mg和軌道對(duì)它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律

②

由①②得③

（2）（4分）設(shè)小球在第二個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為v2，由題意

④

⑤

由④⑤得⑥

（3）（4分）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：

I．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過第三個(gè)圓軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v3，應(yīng)滿足

⑦

⑧

由⑥⑦⑧得

II．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度為R3，根據(jù)動(dòng)能定理

解得

為了保證圓軌道不重疊，R3最大值應(yīng)滿足

解得 R3=27.9m

綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個(gè)圓軌道的半徑須滿足下面的條件

或

當(dāng)時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L′，則

當(dāng)時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L〞，則