Question

12．如圖所示，在電場強度的大小為E、電場線沿豎直方向的區(qū)域有一豎直平面AOB，若OB沿豎直方向，∠BOA=60°，OA=L，OB=$\sqrt{3}$L，現(xiàn)將一質(zhì)量為m，電荷量為q的正離子（重力與空氣阻力忽略不計）以一定的初動能自O(shè)點水平向右拋出，它在運動過程中恰好通過A點，并且到達(dá)A點時的動能時初動能的$\frac{7}{3}$倍，現(xiàn)用垂直于平面AOB的水平勻強磁場取代電場，還將此離子從O點以原來的初速度水平拋出，它恰好通過B點．試求：
（1）存在電場時，O、A兩點間的電壓；
（2）存在電場時，離子到達(dá)A點時的速度方向與初速度方向間夾角的正切值．
（3）該勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小及其方向．

Answer 1

分析 （1、2）利用平拋運動的知識求出初速度，再據(jù)電場力做功情況求出W，利用電勢差公式即可求解；利用平拋運動的速度關(guān)系求解正切．（3）利用洛倫茲力提供向心力和幾何關(guān)系求出磁感應(yīng)強度即可．

解答 解：（1）由于離子在電場作用下，從O到A做類平拋運動，設(shè)初速度為v，運動的時間為t，
據(jù)平拋運動知識可知：x=vt
                  y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
據(jù)幾何關(guān)系可知，x=$\frac{\sqrt{3}}{2}L$
               y=$\frac{L}{2}$   且tan$30°=\frac{y}{x}$
聯(lián)立以上解得：t=$\sqrt{\frac{L}{a}}$．
v=$\frac{\sqrt{3aL}}{2}$      ①
由于帶電粒子在電場力的作用下到達(dá)A點 時的動能時初動能的$\frac{7}{3}$倍，所以W=$\frac{maL}{2}$=$\frac{qEL}{2}$
所以U=$\frac{W}{q}$=$\frac{EL}{2}$
（2）據(jù)速度公式可知，v_y=gt=$\sqrt{Lg}$
所以tanθ=$\frac{{v}_{y}}{v}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
（3）當(dāng)存在磁場時，此離子從O點以原來的初速度水平拋出，它恰好通過B點，所以帶電粒子在洛倫茲力的作用下做圓周運動，所以磁場的方向垂直紙面向外．
由于：qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$   ②
據(jù)幾何關(guān)系可知：R=$\frac{\sqrt{3}L}{2}$   ③
聯(lián)立①②③解得：B=$\frac{m\sqrt{gL}}{qL}$
答：（1）存在電場時，O、A兩點間的電壓$\frac{mgL}{2q}$．
（2）存在電場時，離子到達(dá)A點時的速度方向與初速度方向間夾角的正切值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（3）該勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為$\frac{m\sqrt{gL}}{qL}$及其方向垂直紙面向外．

點評 明確帶電粒子的運動情況及遵循的規(guī)律是解題的前提，靈活應(yīng)用平拋運動的知識、電勢差公式和洛倫茲力提供向心力是解題的核心．