Question

12．質(zhì)量分別為M_A=m，M_B=m₁，M_C=M-m₁的三個物體A、B、C依次自左向右靜止在光滑水平面上的同一條直線上，B、C用一根勁度系數(shù)k為的彈簧連接．突然給A一個向右的初速度v，A與B發(fā)生碰撞后粘在一起繼續(xù)沿三者所在直線向前運動并壓縮彈簧．
（i）求碰撞過程中損失的機械能和彈簧的彈性勢能最大值．
（ii）根據(jù)計算結(jié)果分析，一個質(zhì)量為m的物體以一定的初速度跟另一個質(zhì)量為M的靜止的物體怎樣碰撞損失的機械能最大？

Answer 1

分析 （i）A、B碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，應(yīng)用動量守恒定律可以求出碰撞后的速度．由功能關(guān)系求出損失的機械能；彈簧壓縮量最大時，ABC速度相等，彈簧的彈性勢能最大，A、B、C、彈簧組成的系統(tǒng)動量守恒、機械能守恒，應(yīng)用動量守恒定律與機械能守恒定律可以求出彈簧的彈性勢能．
（ii）結(jié)合以上的分析與功能關(guān)系即可做出判斷．

解答 解：（ i）滑塊A與B碰撞后，共同速度為v₁，以水平向右方向為正方向，
由動量守恒定律得：mv=（m+m₁）v₁，
所以：${v}_{1}=\frac{mv}{m+{m}_{1}}$
損失的機械能：$△{E}_{1}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}（m+{m}_{1}）{v}_{1}^{2}$；
整理得：$△{E}_{1}=\frac{m{m}_{1}{v}^{2}}{2（m+{m}_{1}）}$
在AB通過彈簧與C相互作用的過程中，四個物體組成的系統(tǒng)的動量在水平方向是守恒的，同時系統(tǒng)的機械能也守恒，當(dāng)A、B、C速度相等時，彈簧具有最大彈性勢能，
系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，
由動量守恒定律得：（m+m₁）v₁=（m+m₁+M-m₁）v₂，
得：${v}_{2}=\frac{mv}{m+M}$
由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$（m+m₁）v₁²=$\frac{1}{2}$（m+M）v₂²+E_Pm，
解得：E_Pm=$\frac{{m}^{2}{v}^{2}}{2}（\frac{1}{m+{m}_{1}}-\frac{1}{m+M}）$；
（ii）根據(jù)以上的計算可知，當(dāng)碰撞后兩個物體的速度相等時，彈簧的彈性勢能最大，所以在沒有彈簧的情況下，質(zhì)量為m的物體以一定的初速度跟另一個質(zhì)量為M的靜止的物體碰撞后黏在一起時，系統(tǒng)損失的機械能最大．
答：（ i）碰撞過程中損失的機械能是$\frac{m{m}_{1}{v}^{2}}{2（m+{m}_{1}）}$和彈簧的彈性勢能最大值是$\frac{{m}^{2}{v}^{2}}{2}（\frac{1}{m+{m}_{1}}-\frac{1}{m+M}）$；
（ii）質(zhì)量為m的物體以一定的初速度跟另一個質(zhì)量為M的靜止的物體碰撞后黏在一起時，系統(tǒng)損失的機械能最大．

點評 本題考查了求速度與彈性勢能問題，考查了動量守恒定律與機械能守恒定律的應(yīng)用，分析清楚物體運動過程是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用動量守恒定律與機械能守恒定律可以解題．