Question

13．如圖所示，在光滑水平地面上有一豎直固定的半徑為R的光滑半圓弧軌道和一傾角為θ的表面光滑的斜面體，質(zhì)量均為m的物體A和B分別放在圓弧軌道和斜面體的底端．
（1）要使物體A能夠從圓弧的最高點(diǎn)飛出，則A物體的初速度v_A至少為多大？
（2）在A物體恰好通過(guò)最高點(diǎn)的同時(shí)，物體B以v_B的初速度沿斜面上滑，當(dāng)B上滑到最高P點(diǎn)時(shí)恰好被A物體擊中，則P點(diǎn)到圓弧最高點(diǎn)的水平距離S是多少？（A、B均可看作質(zhì)點(diǎn)）

Answer 1

分析 （1）物體A恰好能夠從圓弧的最高點(diǎn)飛出時(shí)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出A通過(guò)最高點(diǎn)的最小速度，再由機(jī)械能守恒定律求出A物體最小的初速度v_A．
（2）物體A離開(kāi)圓弧最高點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，B沿斜面向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出B的加速度，再由速度時(shí)間公式求出B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，抓住同時(shí)性得到A平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即可結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求P點(diǎn)到圓弧最高點(diǎn)的水平距離S．

解答 解：（1）物體A恰好能夠從圓弧的最高點(diǎn)飛出時(shí)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
可得：v₀=$\sqrt{gR}$
A從圓弧最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：
mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得：v_A=$\sqrt{5gR}$
即A物體的初速度v_A至少為$\sqrt{5gR}$．
（2）物體B沿斜面上滑的加速度大小為：a=$\frac{{m}_{B}gsinθ}{{m}_{B}}$=gsinθ
上滑的時(shí)間為：t=$\frac{{v}_{B}}{a}$=$\frac{{v}_{B}}{gsinθ}$
物體A離開(kāi)圓弧最高點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則P點(diǎn)到圓弧最高點(diǎn)的水平距離為：S=v₀t=$\frac{{v}_{B}\sqrt{gR}}{gsinθ}$
答：（1）A物體的初速度v_A至少為$\sqrt{5gR}$．
（2）P點(diǎn)到圓弧最高點(diǎn)的水平距離S為$\frac{{v}_{B}\sqrt{gR}}{gsinθ}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要掌握物體A到達(dá)圓弧最高點(diǎn)的臨界條件：重力充當(dāng)向心力，分析時(shí)要抓住兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的同時(shí)性．