Question

10．如圖，足夠長的U型光滑金屬導(dǎo)軌及其所構(gòu)成的平面與水平面成θ角（0＜θ＜90°），其中MN與PQ平行且間距為L，導(dǎo)軌平面與磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場垂直．導(dǎo)軌電阻不計(jì)．金屬棒ab由靜止開始沿導(dǎo)軌下滑，并與兩導(dǎo)軌始終保持垂直且良好接觸，金屬棒接入電路部分的電阻為R．當(dāng)金屬棒在這一過程中產(chǎn)生的焦耳熱為Q時(shí)，其速度大小為v，求：
（1）這一過程金屬棒沿導(dǎo)軌下滑的距離x．
（2）這一過程通過金屬棒某一橫截面的電荷量q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)能量守恒確定ab棒重力勢能的減小量與ab棒產(chǎn)生的焦耳熱和動(dòng)能之間的關(guān)系．求解下滑的位移大小，
（2）根據(jù)電磁感應(yīng)定律：$\overline{E}=\frac{△∅}{△t}$和歐姆定律：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$結(jié)合電流電量之間的關(guān)系：q=$\overline{I}t$=$\frac{△∅}{R}$求解電量．

解答 解：（1）有能量守恒定律，可知ab棒下滑時(shí)，減少的重力勢能轉(zhuǎn)化為ab棒的動(dòng)能和回路中的焦耳熱，
即：$mgxsinθ=\frac{1}{2}m{v}^{2}+Q$，
解得：x=$\frac{Q+\frac{1}{2}m{v}^{2}}{mgsinθ}$=$\frac{2Q+m{v}^{2}}{2mgsinθ}$
（2）根據(jù)電磁感應(yīng)定律：$\overline{E}=\frac{△∅}{△t}$=$\frac{BLx}{△t}$，
再由歐姆定律：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$=$\frac{BLx}{R△t}$，
由電流電量之間的關(guān)系：q=$\overline{I}t$=$\frac{BLx}{R△t}△t=\frac{BLx}{R}=\frac{2BLQ+BLm{v}^{2}}{2mgRsinθ}$
答：（1）金屬棒沿導(dǎo)軌下滑的距離x為$\frac{2Q+m{v}^{2}}{2mgsinθ}$．
（2）這一過程通過金屬棒某一橫截面的電荷量q為$\frac{2BLQ+BLm{v}^{2}}{2mgRsinθ}$．

點(diǎn)評 電磁感應(yīng)綜合題中，常常用到能量守恒定律和這個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式：感應(yīng)電量q=n$\frac{△∅}{R}$，但在計(jì)算題中，不能直接作為公式用，要推導(dǎo)．