Question

15．如圖所示，在容器A的頂部通過(guò)彈簧豎直懸掛小球B，小球B的質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為k．現(xiàn)將小球從彈簧原長(zhǎng)處?kù)o止釋放，第一次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的時(shí)間為t．則在任意的$\frac{t}{2}$時(shí)間內(nèi)，小球下降的最大距離是$\frac{\sqrt{2}mg}{k}$，彈簧的彈性勢(shì)能增加量最大值為$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$．

Answer 1

分析 彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)靜止釋放小球，此時(shí)小球的加速度為g，方向豎直向下，根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性可知小球在最低點(diǎn)的加速度大小和方向，再由牛頓第二定律求出此時(shí)的彈力，即為最大彈力．

解答 解：彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)靜止釋放小球，此時(shí)小球的加速度為g，方向豎直向下，此后小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．
當(dāng)彈簧的彈力與重力大小相等時(shí)，小球的速度最大，此位移是小球做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的平衡位置．此時(shí)小球下降的距離：
$△x=\frac{mg}{k}$=A
A即為小球做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅．
小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性可知小球從平衡位置到最低點(diǎn)的過(guò)程經(jīng)歷的時(shí)間與從最高點(diǎn)到平衡位置的時(shí)間是相等的，所以由：小球第一次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的時(shí)間為t可知，小球做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期為：T=2t．
由小球做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)可知，小球在平衡位置的附近的速度最大，所以小球在平衡位置附近的$\frac{t}{2}=\frac{T}{4}$時(shí)間內(nèi)下降的距離最大．
結(jié)合簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程：x=A$•sin\frac{2π}{T}•t$可知，在任意的$\frac{t}{2}$時(shí)間內(nèi)，小球下降的最大距離是：$2×\frac{\sqrt{2}}{2}A$=$\frac{\sqrt{2}mg}{k}$
當(dāng)小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量為：△x=2A=$\frac{2mg}{k}$
小球下降的距離也是2A，該過(guò)程中小球的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，則彈簧的最大彈性勢(shì)能為：
E_Pm=mg•△x=$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$
故答案為：$\frac{\sqrt{2}mg}{k}$；$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$

點(diǎn)評(píng) 該題考查簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移與能量關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是抓住簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，得到小球在最低點(diǎn)的位移的大��；同時(shí)還要掌握對(duì)振動(dòng)方程的應(yīng)用．