Question

10．如圖甲所示，兩個(gè)平行正對的金屬板P、Q水平放置，兩板中間的區(qū)域有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，同時(shí)P、Q兩板間加有交變電壓，因此兩板中間的區(qū)域還存在交變電場．交變電場的變化規(guī)律如圖乙所示．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電微粒，以速度v從O點(diǎn)沿P、Q兩板的中軸線OO′射入復(fù)合場區(qū)，且能從O′點(diǎn)沿水平方向射出．已知微粒在兩板間的復(fù)合場區(qū)做直線運(yùn)動(dòng)或勻速圓周運(yùn)動(dòng)．重力加速度為g、交變電場的周期為T．
（1）計(jì)算P、Q間復(fù)合場區(qū)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B以及交變電場的場強(qiáng)大小E₀．
（2）如果微粒在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間超過$\frac{T}{2}$，計(jì)算極板P、Q的最小距離d與極板的最小長度L、交變電場周期T的可能值．

Answer 1

分析 （1）粒子在復(fù)合場中受到重力、電場力與洛倫茲力作用而做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則合力為零；粒子在三個(gè)力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則重力與電場力合力為零，洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用平衡條件可以求出電場強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）粒子在復(fù)合場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出粒子的軌道半徑，然后求出極板間的最小距離；根據(jù)粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期求出電場的周期；應(yīng)用速度公式求出極板可能的長度，然后求出極板的最小長度．

解答 解：（1）粒子在極板間受重力、電場力與洛倫茲力作用，
粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得：qvB=mg+qE₀，
粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力與電場力合力為零，
洛倫茲力提供向心力，則：mg=qE₀，
解得：E₀=$\frac{mg}{q}$，B=$\frac{2mg}{qv}$；
（2）粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{{v}^{2}}{2g}$，
粒子從兩板中間射入，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
設(shè)極板間最小距離為d，則：2r=$\frac9zpwhpr{2}$，解得：d=$\frac{2{v}^{2}}{g}$；
粒子在極板間做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T₀=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πv}{g}$，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期與電場周期T間的關(guān)系為：
$\frac{T}{2}$=nT₀，周期：T=$\frac{2nπv}{g}$ （n=1、2、3…），
極板的長度：L=v$\frac{T}{2}$=$\frac{nπ{v}^{2}}{g}$ （n=1、2、3…）
極板間的最小長度：L_最小=$\frac{π{v}^{2}}{g}$；
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B為$\frac{2mg}{qv}$，交變電廠的場強(qiáng)大小E₀為$\frac{mg}{q}$．
（2）極板P、Q的最小距離d為$\frac{2{v}^{2}}{g}$，極板的最小長度L為$\frac{π{v}^{2}}{g}$，交變電場周期T的可能值為：$\frac{2nπv}{g}$ （n=1、2、3…）．

點(diǎn)評 本題考查了粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)情況與受力情況確定各力間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵；應(yīng)用平衡條件可以求出電場強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度；應(yīng)用牛頓第二定律與粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式可以解題．