Question

7．某電視臺“快樂向前沖”節(jié)目中的場地設(shè)施如圖所示，AB為水平直軌道，上面安裝有電動懸掛器，可以載人運(yùn)動，水面上漂浮著一個半徑為R，角速度為ω，鋪有海綿墊的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤的軸心離平臺的水平距離為L，平臺邊緣與轉(zhuǎn)盤平面的高度差為H．選手抓住懸掛器，可以在電動機(jī)帶動下，從A點(diǎn)下方的平臺邊緣處沿水平方向做初速度為零，加速度為a的勻加速直線運(yùn)動．選手必須作好判斷，在合適的位置釋放，才能順利落在轉(zhuǎn)盤上．設(shè)人的質(zhì)量為m（不計(jì)身高大�。�，人與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為μmg，重力加速度為g．
（1）假設(shè)選手落到轉(zhuǎn)盤上瞬間相對轉(zhuǎn)盤速度立即變?yōu)榱�，為保證他落在距圓心$\frac{R}{2}$范圍內(nèi)不會被甩出轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤的角速度ω應(yīng)限制在什么范圍？
（2）若已知H=5m，L=9m，R=2m，a=2m/s²，g=10m/s²，在（1）的情況下，選手從某處C點(diǎn)釋放能落到轉(zhuǎn)盤上且不被甩出轉(zhuǎn)盤，則他是從平臺出發(fā)后經(jīng)過多長時間釋放懸掛器的？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)靜摩擦力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律求出轉(zhuǎn)盤角速度的范圍．
（2）抓住平拋運(yùn)動的水平位移和勻加速直線運(yùn)動的位移等于L±$\frac{R}{2}$，結(jié)合位移公式和速度公式求出勻加速運(yùn)動的時間；根據(jù)平拋運(yùn)動的分位移公式列式求解平拋運(yùn)動的時間．

解答 解：（1）設(shè)人落在距圓心$\frac{1}{2}$R處不至被甩下，最大靜摩擦力提供向心力，則有：
μmg≥mω²•$\frac{1}{2}$R
即轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度滿足：ω≤$\sqrt{\frac{2μg}{R}}$
（2）選手從某處C點(diǎn)釋放能落到轉(zhuǎn)盤上且不被甩出轉(zhuǎn)盤，則選手需落在距離圓心半徑為$\frac{R}{2}$的范圍以內(nèi)．
沿水平加速段位移為x₁，時間為t₁；平拋運(yùn)動的水平位移為x₂，時間為t₂．
Ⅰ、若選手落在圓心的左側(cè)$\frac{R}{2}$處，則加速時有：
x₁=$\frac{1}{2}$at²
v=at₁
平拋運(yùn)動階段：
x₂=vt₂
H=$\frac{1}{2}$gt₂²
平拋運(yùn)動的時間：
t₂=$\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×5}{10}}=1s$
全程水平方向：x₁+x₂=L-$\frac{R}{2}$
代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立各式解得：
t₁=2s
Ⅱ、若選手落在圓心的右側(cè)$\frac{R}{2}$處，則加速時有：
全程水平方向：x₁+x₂=L+$\frac{R}{2}$
代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立以上各式解得：
t₁=$\sqrt{22}-1$s
選手從某處C點(diǎn)釋放能落到轉(zhuǎn)盤上且不被甩出轉(zhuǎn)盤，則他是從平臺出發(fā)后到釋放懸掛器的時間為：$2s≤t≤\sqrt{22}-1s$
答：（1）轉(zhuǎn)盤的角速度ω不應(yīng)大于$\sqrt{\frac{2μg}{R}}$．
（2）選手從某處C點(diǎn)釋放能落到轉(zhuǎn)盤上且不被甩出轉(zhuǎn)盤，則他是從平臺出發(fā)后到釋放懸掛器的時間為：$2s≤t≤\sqrt{22}-1s$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵理清選手的運(yùn)動過程，結(jié)合牛頓第二定律、平拋運(yùn)動的分位移公式、運(yùn)動學(xué)公式靈活求解．