Question

如圖所示，有一個(gè)傾角為θ的足夠長(zhǎng)的斜面，沿著斜面有一寬度為2b的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直斜面向外，磁場(chǎng)的邊界與底邊平行．現(xiàn)有一質(zhì)量為m的“日”字形導(dǎo)線框，框上兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為b．其中三條平行邊和斜面底邊及磁場(chǎng)邊界平行，電阻均為R，其余兩條長(zhǎng)平行邊不計(jì)電阻．現(xiàn)將導(dǎo)線框由靜止開(kāi)始釋放，整個(gè)框和斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ（μ＜tanθ），當(dāng)它剛滑進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)．問(wèn)：
（1）導(dǎo)線框從靜止開(kāi)始到進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)所滑過(guò)的距離s；
（2）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明導(dǎo)線框能否勻速通過(guò)整個(gè)磁場(chǎng)；
（3）導(dǎo)線框從靜止開(kāi)始到全部離開(kāi)磁場(chǎng)所產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

（1）線框剛進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有 mgsinθ=μmgcosθ+F_安
又由F_安=BIb，I=

E

R+ R 2

，E=Bbv，
聯(lián)立可得：v=

3mgR(sinθ-μcosθ)

2B2b2

線框未進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)，加速度為a=

mgsinθ-μmgcosθ

m

=gsinθ-μgcosθ
則得 s=

v2

2a

代入可得：s=

9m2R2g(sinθ-μcosθ)

8B4b4

（2）能，在穿越過(guò)程中，當(dāng)只有一條邊在磁場(chǎng)中時(shí)有E=Bbv，I=

E

R+ R 2

，F(xiàn)_安=BIb都不變，仍然有mgsinθ=μmgcosθ+F_安，因而能勻速滑動(dòng)，而當(dāng)有兩條邊在磁場(chǎng)中時(shí)，把它們看成整體，則E=Bbv，I=

E

R 2 +R

，F(xiàn)_安=BIb不變，仍有mgsinθ=μmgcosθ+F_安，因而能勻速滑動(dòng)，綜上所述能勻速地通過(guò)整個(gè)磁場(chǎng)．
（3）對(duì)于線框穿越磁場(chǎng)的整個(gè)過(guò)程，由能量守恒得：mg（4bsinθ）=Q+μ（mgcosθ）4b，
解得 Q=4mgb（sinθ-μcosθ）．
答：
（1）導(dǎo)線框從靜止開(kāi)始到進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)所滑過(guò)的距離s為

9m2R2g(sinθ-μcosθ)

8B4b4

；
（2）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明導(dǎo)線框能勻速通過(guò)整個(gè)磁場(chǎng)；
（3）導(dǎo)線框從靜止開(kāi)始到全部離開(kāi)磁場(chǎng)所產(chǎn)生的焦耳熱Q為4mgb（sinθ-μcosθ）．