Question

16．如圖所示，地球和某行星在同一軌道平面內繞太陽同向公轉，均可視為勻速圓周運動．地球的公轉軌道半徑為R，公轉周期為T．地球和太陽中心的連線與地球和行星的連線所夾的角叫地球對該行星的觀察視角（簡稱視角）．已知該行星的最大視角為θ，當行星處于最大視角處時，是地球上天文愛好者觀察該行星的最佳時期．求：
（1）該行星的公轉周期T_行
（2）若某時刻該行星正處于最佳觀察期，則到緊接著的下一次最佳觀察期需經歷的時間t．

Answer 1

分析 （1）根據題意知道當行星處于最大視角處時，地球和行星的連線應與行星軌道相切，運用幾何關系求解軌道半徑．地球與某行星圍繞太陽做勻速圓周運動，根據開普勒第三定律解出周期；
（2）地球和行星均為逆時針轉動，當再次出現(xiàn)觀測行星的最佳時期時角度存在這樣的關系，ωt-ω₁t=（π±2θ），根據該關系求出再次出現(xiàn)觀測行星的最佳時期的時間．

解答 解：（1）設行星的公轉半徑為r
r=Rsinθ
則由開普勒第三定律$\frac{{r}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=k$得：${T}_{行}^{\;}=\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{3}}}T=\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}T$
（2）情景一，當行星處于最佳觀察期時，行星在地球之前．設地球的角速度ω₁，行星的角速度ω₂，經歷時間為t₁，則有：
且$ω=\frac{2π}{T}$
${ω}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}={ω}_{2}^{\;}{t}_{1}^{\;}-2π+2（\frac{π}{2}-θ）$
得：${t}_{1}^{\;}=\frac{（π+2θ）\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}}{2π（1-\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}）}T$
情景二，當行星處于最佳觀察期時，地球在行星之前．設地球的角速度ω₁，行星的角速度ω₂，經歷時間為t₂，則有：
${ω}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}={ω}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}+2（\frac{π}{2}-θ）$
得：${t}_{2}^{\;}=\frac{（π-2θ）\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}}{2π（1-\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}）}T$
答：（1）該行星的公轉周期${T}_{行}^{\;}$為$\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}T$
（2）若某時刻該行星正處于最佳觀察期，則到緊接著的下一次最佳觀察期需經歷的時間為$\frac{（π+2θ）\sqrt{\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}}}{2π（1-\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}）}T$或$\frac{（π-2θ）\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}}{2π（1-\sqrt{si{n}_{\;}^{3}θ}）}T$．

點評 向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或要求解的物理量選取應用．要注意物理問題經常要結合數(shù)學幾何關系解決．正確作圖是解題的關鍵．