Question

如圖所示，兩根間距為L的金屬導(dǎo)軌MN和PQ，電阻不計(jì)，左端彎曲部分光滑，水平部分導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒間的滑動摩擦因數(shù)為μ，水平導(dǎo)軌左端有寬度為d、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場Ⅰ，右端有另一磁場Ⅱ，其寬度也為d，但方向豎直向下，兩磁場的磁感強(qiáng)度大小均為B₀，相隔的距離也為d.有兩根質(zhì)量為m、電阻均為R的金屬棒a和b與導(dǎo)軌垂直放置，b棒置于磁場Ⅱ中點(diǎn)C、D處．現(xiàn)將a棒從彎曲導(dǎo)軌上某一高處由靜止釋放并沿導(dǎo)軌運(yùn)動下去．

 (1) 當(dāng)a棒在磁場Ⅰ中運(yùn)動時，若要使b棒在導(dǎo)軌上保持靜止，則a棒剛釋放時的高度應(yīng)小于某一值h₀，求h₀的大小；

(2) 若將a棒從彎曲導(dǎo)軌上高度為h(h＜h₀)處由靜止釋放，a棒恰好能運(yùn)動到磁場Ⅱ的左邊界處停止，求a棒克服安培力所做的功；

(3) 若將a棒仍從彎曲導(dǎo)軌上高度為h(h＜h₀)處由靜止釋放，為使a棒通過磁場Ⅰ時恰好無感應(yīng)電流，可讓磁場Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間而變化，將a棒剛進(jìn)入磁場Ⅰ的時刻記為t＝0，此時磁場Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，試求出在a棒通過磁場Ⅰ的這段時間里，磁場Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間變化的關(guān)系式．

Answer 1

解：(1) 因?yàn)?i>a棒進(jìn)入磁場Ⅰ后做減速運(yùn)動，所以只要剛進(jìn)入時b棒不動，b就可以靜止不動

對a棒：由機(jī)械能守恒：mgh₀＝mv   (1分)

對回路：ε＝BLv₀，I＝              (1分)

對b棒：BIL＝μmg(1分)

聯(lián)立解得：h₀＝.              (2分)

(2) 由全過程能量守恒與轉(zhuǎn)化規(guī)律：mgh＝μmg2d＋W_克A    (3分)

解得：W_克A＝mgh－μmg2d.                           (2分)

(3) a棒通過磁場Ⅰ時恰好無感應(yīng)電流，說明感應(yīng)電動勢為零，

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律ε＝，在Δt≠0的前提下，ΔΦ＝0即Φ保持不變  (1分)

對a棒：由機(jī)械能守恒：mgh＝mv²              (1分)

a棒進(jìn)入磁場Ⅰ后，由牛頓第二定律得：a＝μg

經(jīng)過時間t，a棒進(jìn)入磁場Ⅰ的距離為x＝vt－at²(1分)

磁通量Φ＝B₀(d－x)L－BL    (1分)

又最初磁通量為Φ₀＝B₀dL－B₀L＝B₀dL＝Φ    (1分)

聯(lián)立解得：B＝B₀－          (1分)

*或者用微積分處理因?yàn)椋?i>ε_感＝ε_動，ε_感＝·，ε_動＝B₀L(v－μgt)

所以得：^BB₀∫dB·＝^t₀∫B₀L(v－μgt)dt       (1分)

解得(B－B₀)＝B₀L化簡得：B＝B₀－.   (1分)