Question

6．在水平地面上平放一質(zhì)量為M=2kg的木板，木板左端緊靠一帶有光滑圓弧軌道的木塊，木塊右端圓弧軌道最低點(diǎn)與木板等高，木塊固定在水平地面上，已知圓弧軌道的半徑為R=5.5m，木板與地面間的動(dòng)摩擦因式μ₂=0.3，圓弧軌道的最高點(diǎn)B距離木板上表面的高度為h=2.2m，木塊的左側(cè)空間存在大小為4×10⁵N/C，方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中沒(méi)有畫(huà)出），現(xiàn)從木塊的左側(cè)距離木板上表面的高度為H=6.2m處，以v₀=6m/s的水平速度拋出一可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m=1kg，帶電量為q=-5×10^-6C的帶電物塊，物塊從圓弧軌道的最高點(diǎn)B沿切線(xiàn)方向進(jìn)入軌道，如圖所示，假設(shè)物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=0.8，重力加速度g=10m/s²，最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力．
（1）求物塊剛進(jìn)入圓弧軌道瞬間的速度；
（2）求物塊剛到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大�。�
（3）為了使物塊始終在木板上滑動(dòng)，則木板的長(zhǎng)度應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？
（4）若木板長(zhǎng)為9m，且木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=$\frac{4}{30}$，物塊能否滑出木板？木板最終停在距離木塊多遠(yuǎn)處？

Answer 1

分析 （1）研究物塊類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)下落的高度求出物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)豎直分速度，由速度的合成求物塊剛進(jìn)入圓弧軌道瞬間的速度；
（2）從拋出點(diǎn)到圓弧最低點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理求物塊到達(dá)最低點(diǎn)的速度．再由牛頓定律求物塊剛到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）根據(jù)木板的受力情況，分析出物塊在木板上滑行時(shí)木板不動(dòng)．由動(dòng)能定理求木板的長(zhǎng)度；
（4）再根據(jù)木板的受力情況，判斷出木板會(huì)滑動(dòng)，由牛頓第二定律求出兩個(gè)物體的加速度．由速度時(shí)間公式求出兩者速度相等時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間，求相對(duì)位移，從而求解木板的總位移．

解答 解：（1）物塊做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，加速度為 a=$\frac{mg-qE}{m}$=10-$\frac{5×1{0}^{-6}×4×1{0}^{5}}{1}$=8m/s²；
進(jìn)入圓弧軌道瞬間豎直分速度 v_y=$\sqrt{2a（H-h）}$=$\sqrt{2×8×（6.2-2.2）}$=8m/s
進(jìn)入圓弧軌道的速度 v₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=10m/s
速度方向與水平面的夾角為θ，則 tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，得 θ=53°
（2）從拋出點(diǎn)到圓弧最低點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得
   mgH-qEH=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v₂=12m/s
在最低點(diǎn)，有 F_N-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得 F_N=36.2N
根據(jù)牛頓第三定律知，物塊剛到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力 F_N′=F_N=36.2N
（3）物塊滑上木板后，物塊對(duì)木板的摩擦力 f=μ₁mg=8N，木板與地面間接最大靜摩擦力為 f_m=μ₂（M+m）g=9N
因?yàn)?f＜f_m，所以物塊在木板上滑動(dòng)時(shí)，木板靜止不動(dòng)
設(shè)木板的長(zhǎng)度為L(zhǎng)．
根據(jù)動(dòng)能定理得-fL=-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得 L=9m
（4）木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=$\frac{4}{30}$時(shí)，木板與地面間接最大靜摩擦力為  f_m=μ₂（M+m）g=4N＜f，則物塊在木板上滑動(dòng)時(shí)，木板也滑動(dòng)，兩者加速度分別為
  a₁=$\frac{f}{m}$=$\frac{8}{1}$=8m/s²；  a₂=$\frac{f-{f}_{m}}{M}$=$\frac{8-4}{2}$=2m/s²；
設(shè)從滑上木板到兩者速度相等的時(shí)間為t，則
   v=v₂-a₁t=a₂t
解得 t=1.2s，v=2.4m/s
兩者的相對(duì)位移為△x=$\frac{{v}_{2}+v}{2}t$-$\frac{v}{2}t$=$\frac{{v}_{2}}{2}t$=$\frac{12}{2}×1.2$m=7.2m＜9m
所以物塊不會(huì)滑出木板
從滑上木板到相對(duì)靜止木板的位移 x₁=$\frac{v}{2}t$=$\frac{2.4}{2}×1.2$m=1.44m
物塊與木板共速后一起滑行的距離設(shè)為x，則由動(dòng)能定理得
-μ₂（M+m）gx₂=0-$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
解得 x₂=2.16m
故木板運(yùn)動(dòng)的總位移 x=x₁+x₂=1.44+2.16=3.6m
答：
（1）物塊剛進(jìn)入圓弧軌道瞬間的速度是10m/s；方向與水平方向成53°．
（2）物塊剛到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小是26.2N；
（3）為了使物塊始終在木板上滑動(dòng)，則木板的長(zhǎng)度應(yīng)滿(mǎn)足的條件L≥9m；
（4）若木板長(zhǎng)為9m，且木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=$\frac{4}{30}$，物塊不能滑出木板，木板最終停在距離木塊3.6m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要理清物塊的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，把握每個(gè)過(guò)程的物理規(guī)律，當(dāng)物體間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，要注意分析速度相等的狀態(tài)．