Question

11．《瘋狂動物城》電影片段中，質(zhì)量m=10kg的小兔朱迪（可視為質(zhì)點(diǎn)）為了成為一名優(yōu)秀的警察，在訓(xùn)練場刻苦訓(xùn)練，在一項(xiàng)彈射飛人的訓(xùn)練中，彈射裝置被安裝在光滑水平面上，光滑豎直緩沖墻距彈射出口的水平距離為L=2m，其下邊緣距彈射出口高度h₁=3.2m，且距水面高度h₂=1.25m．
（1）第一次朱迪被水平彈出后，恰好經(jīng)過緩沖撞的下邊緣落入水中，求第一次朱迪被彈出時的初速度v₁的大小．
（2）第二次朱迪以v₂=4m/s的初速度水平彈出，撞到緩沖墻后，只保留碰撞前瞬間的豎直分速度貼著墻面下滑并掉入水中，若水對朱迪的平均浮力為f₁=245N，平均阻力f₂=300N，求朱迪落入水中的最大深度d．
（3）小明同學(xué)認(rèn)為被彈射的初速度越大，撞到緩沖墻前動能越小，小強(qiáng)同學(xué)認(rèn)為被彈射的初速度越小，撞到緩沖墻前動能越�。�請通過計(jì)算說明，若要求撞到緩沖墻前瞬間的動能最小，則被彈射的水平初速度為多大？

Answer 1

分析 （1）朱迪被水平彈出后做平拋運(yùn)動，根據(jù)水平和豎直兩個方向的分位移大小，由分位移公式求解初速度v₁．
（2）根據(jù)水平位移和初速度求得朱迪平拋運(yùn)動的時間，從而求得他到達(dá)墻面時豎直分速度，再對他下落的整個過程，運(yùn)用動能定理求落入水中的最大深度d．
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律和動能與速度的關(guān)系得到撞到緩沖墻前瞬間的動能與初速度的表達(dá)式，再由數(shù)學(xué)知識求動能最小的條件．

解答 解：（1）朱迪被水平彈出后做平拋運(yùn)動，則有
  h₁=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$
得 t₁=$\sqrt{\frac{2{h}_{1}}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×3.2}{10}}$s=0.8s
由 L=v₁t₁得 
  v₁=$\frac{L}{{t}_{1}}$=$\frac{2}{0.8}$=2.5m/s
（2）由 L=v₂t₂得
  t₂=$\frac{L}{{v}_{2}}$=$\frac{2}{4}$s=0.5s
撞墻時下落的高度 h′=$\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}×10×0．{5}^{2}$=1.25m
撞墻前瞬間豎直分速度 v_y=gt₂=10×0.5=5m/s
對撞墻后瞬間到落入水中最深處的整個過程，由動能定理得：
   mg（h₁-h′+h₂+d）-（f₁+f₂）d=0-$\frac{1}{2}m{v}_{y}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得 d=1m
（3）朱迪撞墻前瞬間的動能 E_k=$\frac{1}{2}m（{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}）$
且 v_y=gt，t=$\frac{L}{{v}_{0}}$，即 v_y=$\frac{gL}{{v}_{0}}$
得 E_k=$\frac{1}{2}m[{v}_{0}^{2}+（\frac{20}{{v}_{0}}）^{2}]$
根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知，當(dāng)${v}_{0}^{2}$=$（\frac{20}{{v}_{0}}）^{2}$，即 v₀=$\frac{20}{{v}_{0}}$，v₀=2$\sqrt{5}$m/s時，有最小值．
又因?yàn)?v₀=2$\sqrt{5}$m/s≥2.5m/s，所以當(dāng)v₀=2$\sqrt{5}$m/s時他撞到緩沖墻前瞬間的動能最小．
答：當(dāng)初速度為2$\sqrt{5}$m/s時他撞到緩沖墻前瞬間的動能最�。�

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵要明確朱迪的運(yùn)動過程，掌握平拋運(yùn)動的研究方法：運(yùn)動的分解法，運(yùn)用解析式研究動能的最小值．