Question

6．美國阿波羅號登月艇對月球進行探測，測得下列數(shù)據(jù)：月球表面重力加速度約為地球重力加速度的六分之一；登月艇貼近月球表面飛行時其周期約為90分鐘
（1）估算月球的半徑R，（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）
（2）實驗測得人造地球衛(wèi)星近地飛行周期也約為90分鐘，這一實驗結(jié)論說明月球的哪一種屬性與地球相近？簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）登月艇貼近月球表面飛行，萬有引力提供向心力，結(jié)合已知條件${g}_{月}^{\;}=\frac{1}{6}{g}_{地}^{\;}$，即可求出月球的半徑
（2）推導出星球的近地衛(wèi)星的密度表達式，可知周期相同則密度相同

解答 解：（1）登月艇貼近月球表面飛行，萬有引力提供向心力，則有：
$m{g}_{月}^{\;}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
根據(jù)題意${g}_{月}^{\;}=\frac{1}{6}{g}_{地}^{\;}$
所以有：$R=\frac{g{T}_{\;}^{2}}{24{π}_{\;}^{2}}=\frac{10×（90×60）_{\;}^{2}}{24×3.1{4}_{\;}^{2}}≈1.2×1{0}_{\;}^{6}m$
（2）在星球表面飛行的衛(wèi)星，軌道半徑為R，萬有引力提供向心力做勻速圓周運動有：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
星球密度$ρ=\frac{M}{V}$，又$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
所以$ρ=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$
人造地球衛(wèi)星近地飛行的周期與繞月球表面飛行的登月艇的周期相近，所以月球的密度與地球的密度相近
答：（1）估算月球的半徑R為$1.2×1{0}_{\;}^{6}m$，（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）
（2）實驗測得人造地球衛(wèi)星近地飛行周期也約為90分鐘，根據(jù)近地衛(wèi)星的密度公式$ρ=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，這一實驗結(jié)論說明月球的密度與地球相近，

點評 本題要掌握天體運動中的兩個問題：1、萬有引力提供向心力，2、星球表面的物體受到的重力等于萬有引力．理解并掌握這兩個關(guān)系可以解決天體運動的所有問題．