Question

3．如圖所示，兩根等高的四分之一光滑圓弧軌道，半徑為r、間距為L(zhǎng)，圖中oa水平，co豎直，在軌道頂端連有一阻值為R的電阻，整個(gè)裝置處在一豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．現(xiàn)有一根長(zhǎng)度稍大于L、質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的金屬棒從軌道的頂端ab處由靜止開(kāi)始下滑，到達(dá)軌道底端cd時(shí)受到軌道的支持力為2mg．整個(gè)過(guò)程中金屬棒與導(dǎo)軌接觸良好，軌道電阻不計(jì)，求：
（1）金屬棒到達(dá)軌道底端cd時(shí)的速度大小和通過(guò)電阻R的電流：
（2）金屬棒從ab下滑到cd過(guò)程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱和通過(guò)R的電荷量：
（3）若金屬棒在拉力作用下，從cd開(kāi)始以速度v₀向右沿軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則在到達(dá)ab的過(guò)程中拉力做的功為多少？

Answer 1

分析 （1）金屬棒滑到道底端MN時(shí)，由重力和軌道的支持力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出此時(shí)棒的速度．由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$求解通過(guò)R的電流；
（2）棒下滑的過(guò)程中，其重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為棒的動(dòng)能和電路中內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解金屬棒產(chǎn)生的熱量．由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式q=I△t求通過(guò)R的電荷量q．
（3）若棒從cd開(kāi)始以速度v₀向右沿軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其水平方向的分運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，棒中將產(chǎn)生正弦式電流．將棒的瞬時(shí)速度v₀分解，水平方向的分速度對(duì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)有貢獻(xiàn)，求出電流的有效值，即可救出棒中產(chǎn)生的熱量，再根據(jù)功能關(guān)系求拉力做功．

解答 解：（1）到達(dá)軌道底端cd時(shí)，
由牛頓第二定律得：2mg-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\sqrt{gr}$，
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=BLv，
感應(yīng)電流：I=$\frac{E}{R}$，
解得：I=$\frac{BL\sqrt{gr}}{R}$；
（2）由能量守恒定律得：Q=mgr-$\frac{1}{2}$mv²，
產(chǎn)生的焦耳熱：Q=$\frac{1}{2}$mgr，
平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$，
平均感應(yīng)電流：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R}$，
通過(guò)R的電荷量：q=$\overline{I}$•△t，
解得：q=$\frac{BrL}{R}$；
（3）金屬棒中產(chǎn)生正弦交變電流的有效值：I=$\frac{BL{v}_{0}}{\sqrt{2}R}$，
在四分之一周期內(nèi)產(chǎn)生的熱量：Q=I²R×$\frac{πr}{2{v}_{0}}$，
由能量守恒定律得：W_F-mgr=Q，
解得拉力做的功：W_F=mgr+$\frac{πr{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$；
答：（1）金屬棒到達(dá)軌道底端cd時(shí)的速度大小為$\sqrt{gr}$，通過(guò)電阻R的電流為$\frac{BL\sqrt{gr}}{R}$；
（2）金屬棒從ab下滑到cd過(guò)程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱為：$\frac{1}{2}$mgr，通過(guò)R的電荷量為$\frac{BrL}{R}$；
（3）若金屬棒在拉力作用下，從cd開(kāi)始以速度v₀向右沿軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則在到達(dá)ab的過(guò)程中拉力做的功為mgr+$\frac{πr{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中金屬棒做圓周運(yùn)動(dòng)，分析向心力的來(lái)源，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求出速度，分析能量如何轉(zhuǎn)化，再運(yùn)用能量守恒定律求內(nèi)能．關(guān)鍵要懂得棒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，水平方向的分運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，將產(chǎn)生正弦式電流，要用有效值求熱量．