Question

16．如圖，兩根電阻不計(jì)的平行光滑金屬導(dǎo)軌相距L=0.5m水平放置，一端與阻值R=0.3Ω的電阻相連．導(dǎo)軌x＞0一側(cè)存在沿x方向變化的穩(wěn)恒磁場(chǎng)，其方向與導(dǎo)軌平面垂直，x=0處磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=1T．一根質(zhì)量m=0.1kg、電阻r=0.1Ω的金屬棒垂直置于導(dǎo)軌上．棒在外力作用下從x=0處以初速度v₀=2m/s沿導(dǎo)軌向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中速度v與位移x滿足v=$\frac{2}{x+1}$關(guān)系，通過電阻的電流保持不變．求：
（1）金屬棒運(yùn)動(dòng)過程中通過電阻R的電流；
（2）導(dǎo)軌x＞0一側(cè)磁感應(yīng)強(qiáng)度B_x隨x變化關(guān)系；
（3）金屬棒從x=0運(yùn)動(dòng)到x=2m過程中電阻R上產(chǎn)生的熱量；
（4）金屬棒從x=0運(yùn)動(dòng)到x=2m過程中外力的平均功率．

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應(yīng)定律與閉合電路歐姆定律相結(jié)合，來計(jì)算感應(yīng)電流的大��；
（2）由通過電阻的電流保持不變，可知金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)始終相等，即可求解；
（3）由位移時(shí)間公式求出0-2s內(nèi)棒通過的位移大小，由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式求解電荷量．
（4）依據(jù)功能關(guān)系，及動(dòng)能定理可求出外力在過程中的平均功率．

解答 解：（1））開始時(shí)棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：
E=B₀Lv₀=1×0.5×2=1V              
由閉合電路歐姆定律得回路中的感應(yīng)電流為：
I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{1}{0.3+0.1}$A=2.5A           
（2）由通過電阻的電流保持不變，可知金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)始終相等，所以有：B₀Lv₀=B_xLv_x，
解得：${B}_{x}=\frac{{B}_{0}{v}_{0}}{{v}_{x}}=\frac{1×2}{\frac{2}{x+1}}=x+1$
（3）金屬棒在x處所受安培力的大小為：
F=B_xIL=（x+1）IL=1.25+1.25x
由于安培力與x成線性變化，所以在x=0到x=2m過程中克服安培力做功為：
$W=\frac{{F}_{0}+{F}_{2}}{2}•x=\frac{1.25+3.75}{2}×2J=5$J 
克服安培力做功等于在此過程中回路中產(chǎn)生的熱量：Q=W=5J 
因此電阻R上產(chǎn)生的熱量：${Q}_{x}=\frac{3}{4}Q=\frac{3}{4}×5J=3.75$J
（4）設(shè)x=0到x=2m過程外力的平均功率為$\overline{P}$，x=2m時(shí)金屬棒的速度為：
${v}_{2}=\frac{2}{x+1}=\frac{2}{3}$m/s
通過電阻的電流保持不變，有：${Q}_{R}={I}^{2}Rt$
因此x=0到x=2m過程用時(shí)：$t=\frac{{Q}_{R}}{{I}^{2}R}=\frac{3.75}{2．{5}^{2}×0.3}s=2$s 
由動(dòng)能定理有：$\overline{P}t-W=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
因此 $\overline{P}=\frac{0.5×0.1×（\frac{4}{9}-4）+5}{2}≈2.41$W
答：（1）金屬棒運(yùn)動(dòng)過程中通過電阻R的電流是2.5A；
（2）導(dǎo)軌x＞0一側(cè)磁感應(yīng)強(qiáng)度B_x隨x變化關(guān)系為B_x=x+1；
（3）金屬棒從x=0運(yùn)動(dòng)到x=2m過程中電阻R上產(chǎn)生的熱量是3.75J；
（4）金屬棒從x=0運(yùn)動(dòng)到x=2m過程中外力的平均功率是2.41W．

點(diǎn)評(píng) 本題考查法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、安培力的大小公式、做功表達(dá)式、動(dòng)能定理等的規(guī)律的應(yīng)用與理解，運(yùn)動(dòng)過程中電阻上消耗的功率不變，是本題解題的突破口．