Question

5．2013年12月2日，我國成功發(fā)射探月衛(wèi)星“嫦娥三號”，該衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈所用的時間為t，月球半徑為R₀，月球表面處重力加速度為g₀．
（1）請推導(dǎo)出“嫦娥三號”衛(wèi)星離月球表面高度的表達式；
（2）地球和月球的半徑之比為$\frac{R}{{R}_{0}}$=4，表面重力加速度之比為$\frac{g}{{g}_{0}}$=6，試求地球和月球的密度之比．

Answer 1

分析 （1）“嫦娥三號”星繞月球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力列出等式．忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬有引力等于重力，列出等式求解．
（2）根據(jù)密度的公式和已知量表示出密度，再求密度之比．

解答 解：（1）由題意知，“嫦娥三號”衛(wèi)星的周期為 T=$\frac{t}{n}$
設(shè)衛(wèi)星離月球表面的高度為h，由萬有引力提供向心力得：
  G$\frac{Mm}{（{R}_{0}+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R₀+h）
在月球表面，根據(jù)重力等于萬有引力，得
  G$\frac{Mm′}{{R}_{0}^{2}}$=m′g₀．
聯(lián)立解得：h=$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}_{0}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}$-R₀
（2）設(shè)星球的密度為ρ，由G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g
得GM=gR²
ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$
聯(lián)立解得：ρ=$\frac{3g}{4GπR}$
設(shè)地球、月球的密度分別為ρ₁、ρ₀，則：$\frac{{ρ}_{1}}{{ρ}_{0}}$=$\frac{g}{{g}_{0}}$×$\frac{{R}_{0}}{R}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$
答：
（1）“嫦娥三號”衛(wèi)星離月球表面高度的表達式為h=$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}_{0}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}$-R₀．
（2）地球和月球的密度之比為$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查應(yīng)用物理知識分析研究科技成果的能力，基本思路是：建立模型，運用萬有引力等于向心力研究．向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量靈活選擇．