Question

25.某興趣小組設計了一種實驗裝置，用來研究碰撞問題，其模型如題25圖所示。用完全相同的輕繩將N個大小相同、質量不等的小球并列懸掛于一水平桿，球間有微小間隔，從左到右，球的編號依次為1、2、3……N，球的質量依次遞減，每球質量與其相鄰左球質量之比為k（k＜1。將1號球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號球碰撞，2號球再與3號球碰撞……所有碰撞皆為無機械能損失的正碰。(不計空氣阻力，忽略繩的伸長，g取10 m/s²)

題25圖

（1）設與n+1號球碰撞前，n號球的速度為v_n，求n+1號球碰撞后的速度.

（2）若N＝5，在1號球向左拉高h的情況下，要使5號球碰撞后升高16h(16 h小于繩長)，問k值為多少？

（3）在第（2）問的條件下，懸掛哪個球的繩最容易斷，為什么？

Answer 1

解：（1）設n號球質量為m_n，n+1號球質量為m_n+1，碰撞后的速度分別為取水平向右為正方向，據題意有n號球與n+1號球碰撞前的速度分別為v_n、0、m_n+1＝

根據動量守恒，有                  (1)

根據機械能守恒，有=          (2)  

由(1)、(2)得

設n+1號球與n+2號球碰前的速度為v_n+1

據題意有v_n-1=

得v_n-1==           (3)

（2）設1號球擺至最低點時的速度為v₁，由機械能守恒定律有

             (4)

v₁=                  (5)

同理可求，5號球碰后瞬間的速度

             (6)

由(3)式得       (7)

N=n+1=5時，v₅=            (8)

由(5)、(6)、(8)三式得

k=        (9)

（3）設繩長為l，每個球在最低點時，細繩對球的拉力為F，由牛頓第二定律有

                (10)

則            (11)

(11)式中E_kn為n號球在最低點的動能

由題意1號球的重力最大，又由機械能守恒可知1號球在最低點碰前的動能也最大，根據（11）式可判斷在1號球碰前瞬間懸掛1號球細繩的張力最大，故懸掛1號球的繩最容易斷。