Question

19．組成星球的物質(zhì)是靠引力吸引在一起的，這樣的星球有一個(gè)最大的自轉(zhuǎn)速率，如果超過(guò)了該速率，星球的萬(wàn)有引力將不足以維持赤道附近的物體做圓周運(yùn)動(dòng)．已知一個(gè)星球的平均密度為ρ，求它的最小自轉(zhuǎn)周期，已知萬(wàn)有引力恒量為G，球體積公式為V=$\frac{4}{3}$πR³．

Answer 1

分析 由題意可知當(dāng)周期達(dá)到某一最小值時(shí)，物體對(duì)星球表面應(yīng)剛好沒(méi)有壓力，即萬(wàn)有引力恰好充當(dāng)星球表面的物體在星球表面做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力；故由萬(wàn)有引力公式可求得最小周期．

解答 解：由F=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$可得周期越小，物體需要的向心力越大，物體對(duì)星球表面的壓力最小，當(dāng)周期小到一定值時(shí)，壓力為零，此時(shí)萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，即：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$；
答：它的最小自轉(zhuǎn)周期為2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$．

點(diǎn)評(píng) 星球表面的物體受到星球萬(wàn)有引力的作用充當(dāng)物體的向心力及支持力，星球的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度越大、周期越小時(shí)，則需要的向心力越大，則物體所受支持力越小；而當(dāng)向心力大到一定值時(shí)，物體會(huì)離開(kāi)星球表面．
另外，也可以這樣考慮：因M=ρ$\frac{4}{3}$πR³，代入上式可得：T=$\sqrt{\frac{3π}{Gρ}}$．