Question

8．如圖甲所示的陀螺可在圓軌道的外側(cè)旋轉(zhuǎn)而不脫落，好像軌道對(duì)它施加了魔法一樣，被稱為“魔力陀螺”，該玩具深受孩子們的喜愛(ài)．其物理原理可等效為如圖乙所示的模型：半徑為R的磁性圓軌道豎直固定，質(zhì)量為m的小鐵球（視為質(zhì)點(diǎn)）在軌道外側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B兩點(diǎn)分別為軌道上的最高、最低點(diǎn)．鐵球受軌道的磁性引力始終指向圓心且大小不變，不計(jì)摩擦和空氣阻力，重力加速度為g．下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． 鐵球可能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
• B． 鐵球繞軌道轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能守恒
• C． 鐵球在A點(diǎn)的速度一定等于$\sqrt{gR}$
• D． 要使鐵球不脫軌，軌道對(duì)鐵球的磁性引力至少為5mg

Answer 1

分析 對(duì)鐵球的受力進(jìn)行分析，判定鐵球是否能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；結(jié)合做個(gè)個(gè)力的做功情況判斷是否滿足機(jī)械能守恒；根據(jù)點(diǎn)的受力與運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)判斷鐵球在A點(diǎn)可能的速度；結(jié)合機(jī)械能守恒定律與牛頓第二定律分析與判斷鐵球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)的條件．

解答 解：A、鐵球在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中受到重力、軌道的支持力和磁力的作用，其中鐵球受軌道的磁性引力始終指向圓心且大小不變，支持力的方向過(guò)圓心，它們都始終與運(yùn)動(dòng)的方向垂直，所以磁力和支持力都不能對(duì)小鐵球做功，只有重力會(huì)對(duì)小鐵球做功，所以小鐵球的機(jī)械能守恒，在最高點(diǎn)的速度最小，在最低點(diǎn)的速度最大．小鐵球不可能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．故A錯(cuò)誤，B正確；
C、小鐵球在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中受到重力、軌道的支持力和磁力的作用，在最高點(diǎn)軌道對(duì)小鐵球的支持力的方向可以向上，小鐵球的速度只要大于0即可通過(guò)最高點(diǎn)，不一定等于$\sqrt{gR}$，故C錯(cuò)誤；
D、由于小鐵球在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，所以小鐵球在最高點(diǎn)的速度越小，則機(jī)械能越小，在最低點(diǎn)的速度也越小，根據(jù)：F_n=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，可知小鐵球在最低點(diǎn)時(shí)需要的向心力越小．而在最低點(diǎn)小鐵球受到的重力的方向向下，支持力的方向也向下、只有磁力的方向向上．要使鐵球不脫軌，軌道對(duì)鐵球的支持力一定要大于0．
所以鐵球不脫軌的條件是：小鐵球在最高點(diǎn)的速度恰好為0，而且到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)鐵球的支持力恰好等于0．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律，小鐵球在最高點(diǎn)的速度恰好為0，到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度滿足：mg•2R=$\frac{1}{2}$mv²
軌道對(duì)鐵球的支持力恰好等于0，則磁力與重力的合力提供向心力，即：F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：F=5mg
可知，要使鐵球不脫軌，軌道對(duì)鐵球的磁性引力至少為5mg．故D正確．
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 該題屬于結(jié)合機(jī)械能守恒定律考查豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的情況，在解答的過(guò)程中正確分析得出小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的條件是解答的關(guān)鍵，正確寫出向心力的表達(dá)式是解答的基礎(chǔ)．