Question

14．如圖所示，x軸上方以原點O為圓心、半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場的方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應(yīng)強度為B．在x軸（-R，R）下方的區(qū)域內(nèi)存在方向與y軸相同的勻強電場．y軸下方的A點與O點的距離為d，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從A點由靜止釋放，經(jīng)電場加速后從O點射入磁場，不計粒子的重力作用．
（1）要使粒子進入磁場之后不再經(jīng)過x軸，電場強度需大于或等于某個值E，求E；
（2）若電場強度變化為第（1）問E的$\frac{2}{3}$，求粒子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后到達x軸時的坐標；并求粒子從A點出發(fā)到該位置的時間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中加速，在磁場中做勻速圓周運動，應(yīng)用動能定理與牛頓第二定律可以求出電場強度E．
（2）分析清楚粒子運動過程，求出粒子在各階段的運動時間，然后求出粒子總的運動時間．

解答 解：（1）粒子在電場中加速，由動能定理得：qEd=$\frac{1}{2}$mv²，
粒子進入磁場后做圓周運動，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{v2}{r}$，
粒子之后恰好不再經(jīng)過x軸，則離開磁場時的速度方向與x軸平行，運動情況如圖①所示，
由幾何知識得：R=$\sqrt{2}$r，
解得：E=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$；
（2）將E′=$\frac{2}{3}$E代入E=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$可得粒子在磁場中運動的軌道半徑：r=$\frac{R}{\sqrt{3}}$，
粒子運動情況如圖②，圖中的角度α、β滿足：cosα=$\frac{R/2}{r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即：α=30°，β=2α=60°，
粒子經(jīng)過x軸時的位置坐標為：x=r+$\frac{r}{cosβ}$，
解得：x=$\sqrt{3}$R．
粒子在磁場中的速度：v=$\frac{qBR}{\sqrt{3}m}$，
電場中運動時間為：t₁=$\frac{2\sqrt{3}md}{qBR}$，
磁場中運動時間為：t₂=$\frac{2πm}{3qB}$，
出磁場后到X軸時間為：t₃=$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$，
從A點出發(fā)運動的總時間是：t=t₁+t₂+t₃=（$\frac{2\sqrt{3}d}{R}$+$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$）$\frac{m}{qB}$；
答：（1）要使粒子進入磁場之后不再經(jīng)過x軸，電場強度需大于或等于某個值E，E為$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$；
（2）若電場強度變化為第（1）問E的$\frac{2}{3}$，求粒子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后到達x軸時的坐標為：（$\sqrt{3}$R，0），粒子從A點出發(fā)到該位置的時間為（$\frac{2\sqrt{3}d}{R}$+$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$）$\frac{m}{qB}$．

點評 本題考查了粒子在電場與磁場中的運動，分析清楚粒子運動過程是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用運動學(xué)公式、牛頓第二定律可以解題．