Question

19．如圖所示，ab、cd為間距d=1m的光滑傾斜金屬導軌，與水平面的夾角為θ=30°，導軌電阻不計，ac間連接有一個R=2.4Ω的電阻．空間存在磁感應強度B₀=2T的勻強磁場，方向垂直于導軌平面向上．將一根金屬棒放置在導軌上距ac為x₀=0.5m處，金屬棒的質(zhì)量m=0.5kg，電阻r=0.8Ω．現(xiàn)將金屬棒由靜止釋放，金屬棒沿導軌向下運動過程中始終與ac平行且與導軌接觸良好．已知當金屬棒從初始位置向下滑行x=1.6m到達MN處時已經(jīng)達到穩(wěn)定速度，金屬導軌足夠長，g取10m/s²．則：
（1）金屬棒的穩(wěn)定速度是多少？
（2）金屬棒從釋放到運動至MN處的過程中，忽略電流變化引起的電磁輻射損失，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱是多少？
（3）若將由靜止釋放金屬棒的時刻記作t=0，從此時刻開始，為使金屬棒中不產(chǎn)生感應電流，可讓磁感應強度按一定規(guī)律變化．試寫出磁感強度B隨時間t變化的表達式．

Answer 1

分析 （1）當金屬棒受到的安培力與重力沿斜面的分力相等時，導體棒受到的合力為零，導體棒做勻速直線運動，速度最大，達到穩(wěn)定狀態(tài)，由安培力公式及平衡條件即可求出棒下滑的最大速度．
（2）由能量守恒定律求解電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）為使金屬棒中不產(chǎn)生感應電流，回路中磁通量應不變，據(jù)此列式求解．

解答 解：（1）由法拉第電磁感應定律，得：E=B₀lv
由閉合電路歐姆定律，得：I=$\frac{E}{R+r}$
整個運動過程，根據(jù)牛頓第二定律得：mgsinθ-B₀lI=ma
當棒運動的加速度為零時速度最大，可解得：v_m=$\frac{mg（R+r）sinθ}{{B}_{0}^{2}{l}^{2}}$=2m/s
（2）從棒由靜止釋放到達到最大速度的過程中，由能量守恒定律得：mgxsinθ=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$+Q
可解得：Q=mgxsinθ-$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$=3J
故電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q=2.25J
（3）當回路中的總磁通量不變時，棒中不產(chǎn)生感應電流，沿導軌做勻加速運動．則有：B₀lx₀=Bl（x₀+$\frac{1}{2}a′{t}^{2}$）
由牛頓第二定律得：mgsinθ=ma′
聯(lián)立解得：B=$\frac{2}{1+5{t}^{2}}$T
答：（1）金屬棒的穩(wěn)定速度是2m/s．
（2）電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱是2.25J．
（3）磁感應強度B隨時間t變化的表達式為B=$\frac{2}{1+5{t}^{2}}$T．

點評 對金屬棒正確受力分析、分析清楚金屬棒的運動過程、應用安培力公式、平衡條件等，即可正確解題．要明確產(chǎn)生感應電流的條件：閉合電路的磁通量變化．