Question

9．閱讀以下信息：
①2013年12月2日1時30分，“嫦娥三號”在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射，經(jīng)過19分鐘的飛行后，火箭把“嫦娥三號”送入近地點(diǎn)高度210千米、遠(yuǎn)地點(diǎn)高度約36.8萬千米的地月轉(zhuǎn)移軌道．“嫦娥三號”奔月的近似軌跡如圖所示．
②經(jīng)過地月轉(zhuǎn)移軌道上的長途飛行后，“嫦娥三號”在距月面高度約100千米處成功變軌，進(jìn)入環(huán)月圓軌道．在該軌道上運(yùn)行了約4天后，再次成功變軌，進(jìn)入近月點(diǎn)高度15千米、遠(yuǎn)月點(diǎn)高度100千米的橢圓軌道．
③2013年12月14日晚21時，隨著首次應(yīng)用于中國航天器的空間變推力發(fā)動機(jī)開機(jī)，沿橢圓軌道通過近月點(diǎn)的“嫦娥三號”從每秒鐘1.7千米的速度實(shí)施動力下降．
④2013年12月14日21時11分，“嫦娥三號”成功實(shí)施軟著陸．
⑤開普勒行星運(yùn)動第三定律指出：行星繞太陽運(yùn)動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k，k是一個對所有行星都相同的常量．該定律適用于一切具有中心天體的引力系統(tǒng)．
⑥月球的質(zhì)量M=7.35×10²²kg，半徑R=1.74×10³km；月球繞地球運(yùn)行的軌道半長軸a₀=3.82×10⁵km，月球繞地球運(yùn)動的周期T₀=27.3d（d表示天）；質(zhì)量為m的物體在距離月球球心r處具有的引力勢能E_P=-G$\frac{Mm}{r}$，引力常量
G=6.67×10^-11N•m²/kg²；地球的半徑R₀=6.37×10³km．
根據(jù)以上信息，請估算：
（1）“嫦娥三號”在100km環(huán)月圓軌道上運(yùn)行時的速率v；
（2）“嫦娥三號”在橢圓軌道上通過遠(yuǎn)月點(diǎn)時的速率v_遠(yuǎn)．

Answer 1

分析 （1）萬有引力提供嫦娥三號圓周運(yùn)動的向心力，據(jù)此求得嫦娥三號的運(yùn)行速率；
（2）嫦娥三號在橢圓軌道上運(yùn)行時只有引力對其做功，滿足機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守由近月點(diǎn)速度和勢能表達(dá)式求得遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度．

解答 解：（1）據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力有：
$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$
得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$=1.63×10³m/s=1.63km/s
（2）嫦娥三號在橢圓軌道上運(yùn)動時只受月球引力作用滿足機(jī)械能守恒，由題意知嫦娥三號在近月點(diǎn)的速度v_近=1.7km/s=1700m/s
根據(jù)機(jī)械能守恒有：$\frac{1}{2}m{{v}_{近}}^{2}+（-G\frac{Mm}{{r}_{近}}）$=$\frac{1}{2}m{{v}_{遠(yuǎn)}}^{2}+（-G\frac{Mm}{{r}_{遠(yuǎn)}}）$
代入數(shù)據(jù)解得：v_遠(yuǎn)=1600m/s=1.6km/s
答：（1）“嫦娥三號”在100km環(huán)月圓軌道上運(yùn)行時的速率v為1.63km/s；
（2）“嫦娥三號”在橢圓軌道上通過遠(yuǎn)月點(diǎn)時的速率v_遠(yuǎn)為1.6km/s．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是有效的抓取題目中給出的有效信息，能根據(jù)物理模型找出解決問題的思路，從能量解度、開普勒行星運(yùn)動定律和萬有引力定律提供圓周運(yùn)動向心力展開討論即可．