Question

17．如圖所示間距為1的無(wú)限長(zhǎng)平行光滑導(dǎo)軌MN固定于水平面上．在導(dǎo)軌的PE和QN區(qū)域各有一豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B，現(xiàn)有兩根相同的導(dǎo)體棒a，b分別垂直導(dǎo)軌靜置在兩磁場(chǎng)左邊界的P，Q處．導(dǎo)體棒的長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為M，電阻為R，質(zhì)量均為m的C，D兩物塊通過(guò)一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，C通過(guò)輕質(zhì)細(xì)繩與a相連，開始時(shí)細(xì)繩剛好拉直，但無(wú)張力，導(dǎo)體棒b在外力作用下向右運(yùn)動(dòng)，a在磁場(chǎng)PE區(qū)域做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)過(guò)時(shí)間t到達(dá)磁場(chǎng)右邊界E處，此時(shí)D剛好要離開地面，E為PQ的中點(diǎn)，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，不計(jì)一切摩擦，整個(gè)過(guò)程彈簧處于彈性限度內(nèi)，已知重力加速度為g．

（1）求兩導(dǎo)體棒a、b開始時(shí)的間距；
（2）求當(dāng)a到達(dá)磁場(chǎng)邊界E處時(shí)，b的速度大小．

Answer 1

分析 （1）兩導(dǎo)體棒a、b開始時(shí)的間距等于2倍的PE，據(jù)題由胡克定律求出彈簧開始時(shí)壓縮量和a棒到達(dá)E處時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量，由幾何關(guān)系求解．
（2）a在磁場(chǎng)PE區(qū)域做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由位移時(shí)間公式求出加速度．對(duì)a棒和C物運(yùn)用牛頓第二定律列式，結(jié)合回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式E=Bl（v_b-v_a）求解b的速度．

解答 解：（1）由胡克定律得開始時(shí)彈簧的壓縮量為：x₁=$\frac{mg}{k}$…①
a棒到達(dá)E處時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為：x₂=$\frac{mg}{k}$…②
由幾何關(guān)系得：PE=x=x₁+x₂=$\frac{2mg}{k}$…③
據(jù)題得，兩導(dǎo)體棒a、b開始時(shí)的間距為：S=2x=$\frac{4mg}{k}$…④
（2）設(shè)a棒勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度為a，有：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$…⑤
當(dāng)a到達(dá)磁場(chǎng)邊界E處時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，
對(duì)a棒有 BIl-T=Ma…⑥
對(duì)C物有 T-mg-kx₂=ma…⑦
據(jù)題 kx₂=mg…⑧
對(duì)ab回路有 I=$\frac{Bl（{v}_-{v}_{a}）}{2R}$…⑨
又 v_a=at…（10）
聯(lián)立④～（10）式解得：v_b=$\frac{8mg}{kt}$+$\frac{2R[2mgk{t}^{2}+8mg（M+m）]}{{B}^{2}{l}^{2}k{t}^{2}}$
答：（1）兩導(dǎo)體棒a、b開始時(shí)的間距是$\frac{4mg}{k}$；
（2）當(dāng)a到達(dá)磁場(chǎng)邊界E處時(shí)，b的速度大小是$\frac{8mg}{kt}$+$\frac{2R[2mgk{t}^{2}+8mg（M+m）]}{{B}^{2}{l}^{2}k{t}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是復(fù)雜的電磁感應(yīng)中的力學(xué)問(wèn)題，對(duì)于a棒和C物組成的系統(tǒng)，運(yùn)用隔離法研究加速度．對(duì)于a、b回路，要知道回路產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=Bl（v_b-v_a）．