Question

7．澳大利亞科學(xué)家近日宣布，在離地球約14光年的紅矮星wolf 1061周圍發(fā)現(xiàn)了三顆行星b、c、d，它們的公轉(zhuǎn)周期分別是5天、18天、67天，公轉(zhuǎn)軌道可視作圓，如圖所示．已知萬有引力常量為G．下列說法正確的是（　　）

• A． 可求出b、c的公轉(zhuǎn)半徑之比
• B． 可求出c、d的向心加速度之比
• C． 若已知c的公轉(zhuǎn)半徑，可求出紅矮星的質(zhì)量
• D． 若已知c的公轉(zhuǎn)半徑，可求出紅矮星的密度

Answer 1

分析 A、根據(jù)開普勒周期定律公式$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=k分析即可；
B、運(yùn)用萬有引力定律等于向心力列式求解出向心加速度的表達(dá)式進(jìn)行分析；
CD、運(yùn)用萬有引力定律等于向心力列式求解出質(zhì)量表達(dá)式進(jìn)行分析．

解答 解：A、行星b、c的周期分別為5天、18天，均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)開普勒周期定律公式$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=k，可以求解軌道半徑之比，故A正確；
B、行星c、d的周期分別為18天、67天，均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)開普勒周期定律公式$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=k，可以求解軌道半徑之比；根據(jù)萬有引力等于向心力列式，有：
$G\frac{Mm}{r^2}=ma$
解得：$a=\frac{GM}{r^2}$∝$\frac{1}{{r}^{2}}$
故可以求解出c、d的向心加速度之比，故B正確；
CD、已知c的公轉(zhuǎn)半徑和周期，根據(jù)牛頓第二定律，有：
$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$
解得：
$M=\frac{{4{π^2}{r^3}}}{T^2}$
故可以求解出紅矮星的質(zhì)量，但不知道紅矮星的體積，無法求解紅矮星的密度，故C正確，D錯(cuò)誤；
故選：ABC

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確行星圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來源，結(jié)合開普勒定律、萬有引力定律、牛頓第二定律列式分析，不難．