Question

11．如圖所示，以MN為界的兩勻強磁場，方向均垂直紙面向里，MN邊界上方的磁感應強度B₁大于下方的磁感應強度B₂，且B₂=B₀，一質量為m，帶正電荷且電量為q的粒子從O點沿圖示方向垂直MN進入磁場B₁中，不計粒子重力．
（1）若B₁=2B₀，求帶電粒子從O點出發(fā)至再次回到O點所需的時間，并畫出粒子運動軌跡．
（2）求帶電粒子從O點出發(fā)后能再次回到O點的所有B₁的可能值及其運動過程所用的時間．

Answer 1

分析 （1）粒子在兩種磁場中只受洛倫茲力，做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律可知半徑${R}_{1}=\frac{1}{2}{R}_{2}$，根據左手定則，分析粒子旋轉方向，畫出軌跡，根據軌跡確定時間與周期的關系，即可求出粒子重新回到O點的時間；
（2）根據粒子在磁場中做勻速圓周運動畫出運動軌跡，根據周期性運動的特點，找出半徑間的關系，聯(lián)立方程求出B₁可能值和對應的運動時間；

解答 解：（1）設粒子在磁場B₁和B₂中圓周運動的半徑分別為R₁、R₂，
               粒子在磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
               解得：${R}_{1}=\frac{mv}{q{B}_{1}}$，${R}_{2}=\frac{mv}{q{B}_{2}}$，
               當B₁=2B₀=2B₂時，${R}_{1}=\frac{1}{2}{R}_{2}$，
                根據左手定則判斷可以知道，粒子在磁場B₁中沿逆時針方向旋轉，在磁場B₂中沿順時針方向旋轉，
                畫出粒子運動軌跡如圖甲所示：
            
                                        圖甲
             粒子在磁場中做圓周運動的周期：$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$，
              粒子運動的時間應包含兩部分，在上半磁場的2個半周期，在下半磁場的半個周期．
              帶電粒子從O點出發(fā)至再次回到O點所需的時間為：
               ${t}_{1}={T}_{1}+\frac{{T}_{2}}{2}=\frac{2πm}{2q{B}_{0}}+\frac{1}{2}×\frac{2πm}{q{B}_{2}}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
            （2）畫出帶電粒子運動的軌跡如圖乙所示：
          
                                   圖乙
            設A₁A₂=△x，則△x=2R₂-2R₁，
            當再一次回到O點時應滿足：n△x=2R₁，
            解得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}=\frac{n}{n+1}$，
            由$R=\frac{mv}{qB}$得：$B=\frac{mv}{qR}$，
            即：$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}=\frac{n+1}{n}$，
            故：${B}_{1}=\frac{n+1}{n}{B}_{0}$（n=1，2，3，…）
            根據運動軌跡，在MN上方的B₁磁場中有（n+1）個半圓，運動時間：${t}_{1}=\frac{1}{2}（n+1）{T}_{1}=\frac{n+1}{2}•\frac{2πm}{q{B}_{1}}=\frac{nπm}{q{B}_{0}}$
            在MN下方的B₂磁場中有n個半圓，運動時間：${t}_{2}=\frac{n}{2}{T}_{2}=\frac{n}{2}•\frac{2πm}{q{B}_{0}}=\frac{nπm}{q{B}_{0}}$
            則帶電粒子從O點出發(fā)后能再次回到O點的運動時間：
             $t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{2nπm}{q{B}_{0}}$（n=1，2，3，…）
答：（1）帶電粒子從O點出發(fā)至再次回到O點所需的時間$t=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，運動軌跡如圖甲；
      （2）帶電粒子能再次回到O點的B₁的值為${B}_{1}=\frac{n+1}{n}{B}_{0}$（n=1，2，3，…）
              帶電粒子從O點出發(fā)后能再次回到O點的運動時間為$t=\frac{2nπm}{q{B}_{0}}$（n=1，2，3，…）

點評 本題考查帶電粒子在兩個不同磁場區(qū)域做交替圓周運動的問題，綜合考查帶電粒子在磁場中做圓周運動的相關知識及左手定則，準確畫出運動軌跡圖是解決問題的關鍵；其中第二問不僅要求能準確畫出運動軌跡，而且要從運動軌跡中找出運動的規(guī)律，對能力要求較高．