Question

13．如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135?的圓弧，MN為其豎直半徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離也是R．用質(zhì)量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物塊恰停止在B點(diǎn)．用同種材料、質(zhì)量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，物塊過B點(diǎn)后其在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)位移與時(shí)間的關(guān)系為s=6t-2t²，物塊飛離桌面后由P點(diǎn)沿切線落入圓軌道．取g=10m/s²．求：

（1）BP間的水平距離；
（2）判斷m₂能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)；
（3）釋放后m₂運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）物塊由D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式求出到達(dá)D點(diǎn)的速度，根據(jù)物塊過B點(diǎn)后其位移與時(shí)間的關(guān)系得出初速度和加速度，進(jìn)而根據(jù)位移-速度公式求出位移；
（2）物塊在內(nèi)軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)有臨界速度，應(yīng)用牛頓第二定律求出臨界速度，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，求出M點(diǎn)的速度，與臨界速度進(jìn)行比較，判斷其能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)．
（3）由能量轉(zhuǎn)化及守恒定律即可求出m₂釋放后在桌面上運(yùn)動(dòng)的過程中克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）設(shè)物體由D點(diǎn)以初速度v_D做平拋，落到P點(diǎn)時(shí)豎直速度為v_y，有：
v_y²=2gR，
$\frac{{v}_{y}}{{v}_{D}}$=tan45°，
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：v_D=4m/s，
設(shè)平拋時(shí)間為t，水平位移x₁，有：
R=$\frac{1}{2}$gt²，
x₁=v_Dt，
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：x₁=1.6m，
小球過B點(diǎn)后做初速度為v₀=6m/s，加速度為a=4m/s²的減速運(yùn)動(dòng)到達(dá)D點(diǎn)的速度v_D，
由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式得：v₀²-v_D²=2ax₂，
所以BP的水平距離為：x=x₁+x₂=4.1m；
（2）物體恰好通過最高點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{gR}$，
物體要通過最高點(diǎn)，速度應(yīng)大于等于$\sqrt{gR}$，
若物體能沿軌道到達(dá)M點(diǎn)，其速度v_M，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m₂v_M²=$\frac{1}{2}$m₂v_D²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m₂gR，
解得：v_M=$\sqrt{16-8\sqrt{2}}$＜$\sqrt{gR}$，則物體不能到達(dá)M點(diǎn)．
（3）設(shè)彈簧長(zhǎng)為AC時(shí)的彈性勢(shì)能為E_P，物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，由牛頓第二定律得：
μm₂g=m₂a，
 釋放m₁時(shí)，E_P=μm₁gx_CB，
釋放m₂時(shí)，E_P=μm₂gx_CB+$\frac{1}{2}$m₂v₀²，
解得：E_P=7.2J，
設(shè)m₂在桌面上運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做功為W_f，有：
E_P-W_f=$\frac{1}{2}$m₂v_D²，
代入數(shù)據(jù)解得：W_f=5.6J；
答：（1）BP間的水平距離為4.1m；
（2）m₂不能沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)；
（3）釋放后m₂運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做的功為5.6J．

點(diǎn)評(píng) 該題涉及到多個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，主要考查了機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動(dòng)基本公式、圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)及公式較多，難度較大，屬于難題．