Question

12．如圖，MN為一個豎直放置的四分之一光滑絕緣圓弧軌道，軌道半徑等于R．一個質(zhì)量為m、帶電量為+q的小球，從M點靜止開始沿圓弧軌道下滑，經(jīng)最低點N沿水平方向垂直進入寬為d的有界正交的勻強電場和勻強磁場中，C₁C₂和D₁D₂為電磁場的邊界，已知勻強電場的場強E₁=$\frac{mg}{q}$，方向豎直向上，勻強磁場B方向垂直紙面向里，小球經(jīng)過正交電磁場后從P點與D₁D₂邊成θ角射出，進入另一勻強電場區(qū)域（圖中未畫出），沿PQ作勻減速直線運動，到Q點時速度減為零，整個運動軌跡均在同一豎直平面內(nèi)，重力加速度取g．求：
（1）正交電磁場中的磁感應強度B的大��；
（2）小球從P點運動到Q點的過程中，所在勻強電場區(qū)域的強度的最小值E₂的大小和方向；
（3）在（2）問的電場下，PQ之間的距離．

Answer 1

分析 此題的物理過程小球為先從圓弧軌道下滑，以水平速度進入三種場的復合場Ⅰ中做勻速圓周運動，最后進入兩種場中復合場Ⅱ做勻減速運動至速度為零．要注意的是小球的重力不能忽略．
（1）由題設知：在復合場Ⅰ中，重力與電場力抵消，所以小球在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動．由幾何關系求得半徑，再由牛頓第二定律求出磁感應強度．
（2）小球沿PQ作勻減速直線運動，則合力方向沿QP方向，根據(jù)平行四邊形定則求得電場力從而得到電場強度．
（3）動能定理求得PQ之間的距離．

解答 解：（1）小球從M到N，據(jù)機械能守恒律得：
$mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$…①
從而得：$v=\sqrt{2gR}$
進入復合場Ⅰ中，由于${E}_{1}=\frac{mg}{q}$，即E₁q=mg，所以重力與電磁力抵消．
小球在在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動，其圓心在C₁C₂線上．由幾何關系小球做勻速圓周運動半徑：
  $r=\fracd99hxn7{cosθ}$…②
由牛頓第二定律有：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$…③
聯(lián)立上述幾式得：$B=\frac{m\sqrt{2gR}cosθ}{qd}$
（2）小球從P到Q，受到重力、電場力作用做勻減速直線運動，由題意知兩力合力方向沿著QP方向．
而由于求電場強度的最小值，由幾何關系知，當E₂最小時，E₂垂直于PQ．由幾何關系得到：
E_2minq=mgsinθ…④
所以：電場強度最小值為：${E}_{2nin}=\frac{mgsinθ}{q}$．
（3）從P到Q，據(jù)動能定理：
$-mgcosθ•S=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入得：PQ之間的距離為：$S=\frac{\sqrt{2gR}}{2gcosθ}$．
答：（1）正交電磁場中的磁感應強度$\frac{m\sqrt{2gR}cosθ}{qd}$．
（2）小球從P點運動到Q點的過程中，所在勻強電場區(qū)域的強度的最小值$\frac{mgsinθ}{q}$，方向垂直于PQ斜向左上方．
（3）在（2）問的電場下，PQ之間的距離$\frac{\sqrt{2gR}}{2gcosθ}$．

點評 本題的靚點有二：①是小球重力與電場力抵消，在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動，②是在復合場Ⅱ中受電場力和重力做勻減速直線運動，則合力與運動方向相反，再由矢量合成法則得最小值垂直于PQ．