Question

15．如圖所示，有一長度為s=4m的斜面AB，斜面傾角θ=37°，斜面底端B與一繃緊的水平傳送帶的水平部分相距很近，傳送帶長度L=10m，并始終以v=2m/s的速率順時針轉動．一物體從斜面頂端A由靜止釋放，物體與斜面之間的動摩擦因數μ₁=0.5，物體與傳送帶之間的動摩擦因數為μ₂=0.1，已知物體從斜面底端B運動到傳送帶上的短暫過程，其速度大小不改變，將物體看作質點，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）物體運動到斜面底端B時的速度v_B的大��？
（2）物體從到達傳送帶到離開傳送帶，所經歷的時間t是多長？
（3）若傳送帶以v=2m/s的速率逆時針轉動，物體從到達傳送帶到第一次離開傳送帶，所經歷的時間t是多長？

Answer 1

分析 （1）在A到B的過程中，根據牛頓第二定律可求得物體在AB段的加速度，由速度位移公式可求解物體到B點的速度；
（2）由于v_B＞v，所以物體在傳送帶上減速運動直到二者速度相同，根據運動學速度時間公式可求時間；
（3）物體先向右做減速運動，減速到零后再向左加速運動，加速到傳送帶速度后在勻速運動，根據運動學公式求得時間

解答 解：（1）在A到B的過程中，設物體的加速度為a₁，則有：
mgsinθ-μ₁mgcosθ=ma₁
代入數據解得：a₁=2m/s²
由速度位移公式有：${v}_{B}^{2}=2{a}_{1}s$
代入數據解得：v_B=4 m/s                             
（2）設物體在斜面上運動時間為t₁，由于v_B＞v，物體在傳送帶上減速運動，設加速度大小為a₂，滑動時間為t₂，則有：
μ₂mg=ma₂                            
解得：${a}_{2}={μ}_{2}g=1m/{s}^{2}$
達到共同速度則有：
v=v_B-a₂t₂         
代入數據解得：t₂=2s，
2s內物體前進的距離為：
$x′=\frac{{v}_{B}+v}{2}{t}_{2}=\frac{4+2}{2}×2m=6m$
此后勻速運動，則有：
${t}_{3}=\frac{L-x′}{v}=\frac{10-6}{2}s=2s$
故經歷時間：t=t₂+t₃=4s                                                    
（3）物體達到傳送帶后，一直減速運動，減速到零所需時間為為：
$t′=\frac{{v}_{B}}{{a}_{2}}=\frac{4}{1}s=4s$，
通過的位移為：
$x″=\frac{{v}_{B}}{2}t′=\frac{4}{2}×4m=8m$
之后反向加速運動，加速到和傳送帶具有相同速度所需時間為：$t″=\frac{v}{{a}_{2}}=2s$，
通過的位移為：$x′″=\frac{v}{2}t″=\frac{2}{2}×2m=2m$，
此后和傳送帶一起勻速，則有：$t′″=\frac{x″-x′″}{v}=\frac{8-2}{2}s=3s$
過經歷的總時間為：t_總=t′+t″+t′″=9s
答：（1）物體運動到斜面底端B時的速度v_B的大小為4m/s
（2）物體從到達傳送帶到離開傳送帶，所經歷的時間t是4s
（3）若傳送帶以v=2m/s的速率逆時針轉動，物體從到達傳送帶到第一次離開傳送帶，所經歷的時間t是9s

點評 本題關鍵分析物體的運動狀態(tài)，由牛頓第二定律和運動學公式聯(lián)立列式求解，難度中檔