Question

5．古希臘哲學家芝諾提出了一個著名的運動佯謬，認為飛毛腿阿基里斯永遠追不上烏龜．設阿基里斯和烏龜?shù)乃俣确謩e是v₁和v₂（v₁＞v₂）．開始時，阿基里斯在O點，烏龜在A點，O，A相距為L．當阿基里斯第一次跑到烏龜最初的位置A時，烏龜?shù)搅说诙�個位置B；當阿基里斯第二次跑到烏龜曾在的位置B時，烏龜?shù)搅说谌齻�位置C．如此等等，沒有經(jīng)過無窮多次，阿基里斯是無法追上烏龜?shù)模?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic3/quiz/images/201608/135/ef09255d.png" style="vertical-align:middle" />
（1）阿基里斯第n次跑到烏龜曾在的位置N時，總共用了多少時間．
（2）證明經(jīng)過無窮多次這樣的追趕，阿基里斯可以追上烏龜，并求追上用了多少時間．
（3）可是，人們還是可以替芝諾辯護的，認為他用了一種奇特的時標，即把阿基里斯每次追到上次烏龜所到的位置作為一個時間單位．現(xiàn)稱用這種時標所計的時間叫做“芝諾時”（符號τ，單位：芝諾）．即阿基里斯這樣追趕了烏龜n次的時候，芝諾時τ=n芝諾．試推導普通時與芝諾時的換算關(guān)系，即τ=f（t）的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析 由運動學公式分步確定各段時間，進行求和，由多項式求和公式確定時間的表達式．確定達到∞時對就的時間值．

解答 解：（1）當阿基里斯第一次跑到烏龜?shù)淖畛跷恢肁時，用時${t}_{1}=\frac{L}{{v}_{1}}$，
烏龜已到了第二個位置B，$\overline{AB}={v}_{2}{t}_{1}=\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}L$，
當阿基里斯第二次跑到烏龜?shù)脑�在位置B時，用時${t}_{2}=\frac{\overline{AB}}{{v}_{1}}=\frac{{v}_{2}L}{{{v}_{1}}^{2}}$，
烏龜已到了第三個位置C，$\overline{BC}={v}_{2}{t}_{2}=（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{2}L$，
如此等等，阿基里斯第n次跑到烏龜曾在的位置N時，用時${t}_{n}=\frac{{{v}_{2}}^{n-1}}{{{v}_{1}}^{n}}L$，
所以t_N=t₁+t₂+…+t_n=$\frac{L}{{v}_{1}}[1+\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}+（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{2}+…+（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n-1}]$=$\frac{L}{{v}_{1}}•\frac{1-（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n}}{1-\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$．
（2）當n→∞時，$（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n}$→0，所以t=$\frac{L}{{v}_{1}-{v}_{2}}$，所以阿基里斯可以追上烏龜，所用時間t=$\frac{L}{{v}_{1}-{v}_{2}}$．
（3）由t=$\frac{L}{{v}_{1}}•\frac{1-（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n}}{1-\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$得，可以解出τ=n=$\frac{ln（1-\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{L}t）}{ln\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$．
答：（1）阿基里斯第n次跑到烏龜曾在的位置N時，總共用了$\frac{L}{{v}_{1}}•\frac{1-（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n}}{1-\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$．
（2）追上用了$\frac{L}{{v}_{1}-{v}_{2}}$時間．
（3）τ=f（t）的函數(shù)關(guān)系為τ=n=$\frac{ln（1-\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{L}t）}{ln\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$．

點評 本題考查物理學與數(shù)學知識的結(jié)合能力，對于多項式的求和是解題的關(guān)鍵，對數(shù)學能力的要求較高，需要多練習．