Question

13．如圖所示，質(zhì)量為m、內(nèi)壁光滑的半圓形軌道靜止在水平地面上，O為其圓心，P為軌道上一點(diǎn)，其中OP與OA的夾角為θ．將一質(zhì)量為m的小物塊由圖中的A點(diǎn)處?kù)o止釋放．求：
（1）當(dāng)小物塊運(yùn)動(dòng)到容器的P點(diǎn)時(shí)，地面對(duì)半圓形軌道的摩擦力多大？
（2）小物塊下滑過(guò)程中，θ為何值時(shí)，地面對(duì)半圓形軌道的摩擦力最大？
（3）為使物塊下滑過(guò)程中半圓形軌道始終保持靜止，半圓形軌道與地面的摩擦因數(shù)μ至少多大？

Answer 1

分析 （1）從A到P的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理列式，在P點(diǎn)，指向圓心的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式列式，聯(lián)立方程求出半圓形軌道對(duì)物體的支持力，半圓形軌道處于靜止?fàn)顟B(tài)，受力平衡，對(duì)半圓形軌道受力分析，根據(jù)平衡條件求解摩擦力；
（2）根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)分析θ為何值時(shí)，地面對(duì)半圓形軌道的摩擦力最大；
（3）根據(jù)平衡條件求出摩擦力最大時(shí)地面對(duì)半圓形軌道的支持力，再根據(jù)滑動(dòng)摩擦力公式求出動(dòng)摩擦因數(shù)的最小值．

解答 解：（1）從A到P的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgRsinθ$
在P點(diǎn)，指向圓心的合力提供向心力，則有：
${F}_{N}-mgsinθ=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F_N=3mgsinθ，
半圓形軌道處于靜止?fàn)顟B(tài)，受力平衡，對(duì)半圓形軌道受力分析，根據(jù)平衡條件得：
水平方向：f=F_Ncosθ=3mgsinθcosθ，
（2）地面對(duì)半圓形軌道的摩擦力f=3mgsinθcosθ=$\frac{3}{2}mgsin2θ$，當(dāng)2θ=90°時(shí)，即θ=45°時(shí)，摩擦力最大，
（3）地面對(duì)半圓形軌道的最大摩擦力${f}_{max}=\frac{3}{2}mgsin90°=1.5mg$，
半圓形軌道豎直方向受力平衡，則有：N=mg+3mg（sin45°）²=2.5mg，
則動(dòng)摩擦因數(shù)最小值μ_min=$\frac{{f}_{max}}{N}=\frac{1.5mg}{2.5mg}=0.6$
答：（1）當(dāng)小物塊運(yùn)動(dòng)到容器的P點(diǎn)時(shí)，地面對(duì)半圓形軌道的摩擦力為3mgsinθcosθ；
（2）小物塊下滑過(guò)程中，θ為45°時(shí)，地面對(duì)半圓形軌道的摩擦力最大；
（3）為使物塊下滑過(guò)程中半圓形軌道始終保持靜止，半圓形軌道與地面的摩擦因數(shù)μ至少為0.6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理、向心力公式以及共點(diǎn)力平衡條件的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析物體的受力情況，并能結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解極值，難度適中．